ГДЗ 10-11 Класс Номер 25.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите сумму геометрической прогрессии ($b_n$), если:

а) $b_n = \dfrac{25}{3^n}$;

б) $b_n = (-1)^n \cdot \dfrac{13}{2^{n-1}}$;

в) $b_n = \dfrac{45}{6^n}$;

г) $b_n = (-1)^n \cdot \dfrac{7}{6^{n-2}}$

Найти сумму геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $b_n = \dfrac{25}{3^n}$;
$b_1 = \dfrac{25}{3^1} = \dfrac{25}{3}$;
$q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{25}{3^{n+1}} : \dfrac{25}{3^n} = \dfrac{3^n}{3^{n+1}} = \dfrac{1}{3}$;

$$S = \dfrac{b_1}{1 — q} = \dfrac{25}{3} : \left(1 — \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{25}{3} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{25}{2} = 12{,}5;$$

Ответ: $12{,}5$

б) $b_n = (-1)^n \cdot \dfrac{13}{2^{n-1}}$;
$b_1 = (-1)^1 \cdot \dfrac{13}{2^{1-1}} = -1 \cdot \dfrac{13}{2^0} = -13$;

$$q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{(-1)^{n+1} \cdot \dfrac{13}{2^n}}{(-1)^n \cdot \dfrac{13}{2^{n-1}}} = -\dfrac{2^{n-1}}{2^n} = -\dfrac{1}{2};$$ $$S = \dfrac{b_1}{1 — q} = -13 : \left(1 + \dfrac{1}{2}\right) = -13 : \dfrac{3}{2} = -13 \cdot \dfrac{2}{3} = -\dfrac{26}{3} = -8\dfrac{2}{3};$$

Ответ: $-8\dfrac{2}{3}$

в) $b_n = \dfrac{45}{6^n}$;
$b_1 = \dfrac{45}{6^1} = \dfrac{15}{2}$;

$$q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{45}{6^{n+1}} : \dfrac{45}{6^n} = \dfrac{6^n}{6^{n+1}} = \dfrac{1}{6};$$ $$S = \dfrac{b_1}{1 — q} = \dfrac{15}{2} : \left(1 — \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{15}{2} : \dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{2} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{90}{10} = 9;$$

Ответ: $9$

г) $b_n = (-1)^n \cdot \dfrac{7}{6^{n-2}}$;
$b_1 = (-1)^1 \cdot \dfrac{7}{6^{1-2}} = -1 \cdot \dfrac{7}{6^{-1}} = -7 \cdot 6 = -42$;

$$q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{(-1)^{n+1} \cdot \dfrac{7}{6^{n-1}}}{(-1)^n \cdot \dfrac{7}{6^{n-2}}} = -\dfrac{6^{n-2}}{6^{n-1}} = -\dfrac{1}{6};$$ $$S = \dfrac{b_1}{1 — q} = -42 : \left(1 + \dfrac{1}{6}\right) = -42 : \dfrac{7}{6} = -42 \cdot \dfrac{6}{7} = -36;$$

Ответ: $-36$

Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии $b_n$ в каждом из следующих случаев:

а) $b_n = \dfrac{25}{3^n}$

Шаг 1. Найдём первый член прогрессии:

$$b_1 = \dfrac{25}{3^1} = \dfrac{25}{3}$$

Шаг 2. Найдём знаменатель прогрессии:

$$q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{25}{3^{n+1}} : \dfrac{25}{3^n} = \dfrac{3^n}{3^{n+1}} = \dfrac{1}{3}$$

Шаг 3. Формула суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1):

$$S = \dfrac{b_1}{1 — q}$$

Шаг 4. Подставим значения:

$$S = \dfrac{\dfrac{25}{3}}{1 — \dfrac{1}{3}} = \dfrac{\dfrac{25}{3}}{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{25}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{25}{2}$$

Шаг 5. Переведём дробь в десятичную форму:

$$S = \dfrac{25}{2} = 12{,}5$$

Ответ: $\boxed{12{,}5}$

б) $b_n = (-1)^n \cdot \dfrac{13}{2^{n-1}}$

Шаг 1. Первый член прогрессии:

$$b_1 = (-1)^1 \cdot \dfrac{13}{2^0} = -1 \cdot 13 = -13$$

Шаг 2. Знаменатель:

$$q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{(-1)^{n+1} \cdot \dfrac{13}{2^n}}{(-1)^n \cdot \dfrac{13}{2^{n-1}}} = -\dfrac{2^{n-1}}{2^n} = -\dfrac{1}{2}$$

Шаг 3. Используем формулу:

$$S = \dfrac{b_1}{1 — q}$$

Шаг 4. Подставим:

$$S = \dfrac{-13}{1 — (-\dfrac{1}{2})} = \dfrac{-13}{1 + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{-13}{\dfrac{3}{2}} = -13 \cdot \dfrac{2}{3} = -\dfrac{26}{3}$$

Шаг 5. Переведём в смешанное число:

$$S = -8 \dfrac{2}{3}$$

Ответ: $\boxed{-8 \dfrac{2}{3}}$

в) $b_n = \dfrac{45}{6^n}$

Шаг 1. Первый член:

$$b_1 = \dfrac{45}{6^1} = \dfrac{45}{6} = \dfrac{15}{2}$$

Шаг 2. Знаменатель:

$$q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{45}{6^{n+1}} : \dfrac{45}{6^n} = \dfrac{6^n}{6^{n+1}} = \dfrac{1}{6}$$

Шаг 3. Формула суммы:

$$S = \dfrac{b_1}{1 — q} = \dfrac{\dfrac{15}{2}}{1 — \dfrac{1}{6}} = \dfrac{15}{2} : \dfrac{5}{6}$$

Шаг 4. Переводим деление в умножение:

$$S = \dfrac{15}{2} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{90}{10} = 9$$

Ответ: $\boxed{9}$

г) $b_n = (-1)^n \cdot \dfrac{7}{6^{n-2}}$

Шаг 1. Первый член:

$$b_1 = (-1)^1 \cdot \dfrac{7}{6^{-1}} = -1 \cdot \dfrac{7}{\dfrac{1}{6}} = -7 \cdot 6 = -42$$

Шаг 2. Знаменатель:

$$q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{(-1)^{n+1} \cdot \dfrac{7}{6^{n-1}}}{(-1)^n \cdot \dfrac{7}{6^{n-2}}} = -\dfrac{6^{n-2}}{6^{n-1}} = -\dfrac{1}{6}$$

Шаг 3. Формула суммы:

$$S = \dfrac{b_1}{1 — q} = \dfrac{-42}{1 + \dfrac{1}{6}} = \dfrac{-42}{\dfrac{7}{6}} = -42 \cdot \dfrac{6}{7} = -36$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -36}}$