ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Известно, что:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2,\quad \lim_{x \to \infty} g(x) = -3,\quad \lim_{x \to \infty} h(x) = 9;$$

а)

$$\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} g(x) = 2 + (-3) = -1;$$

Ответ: $-1$.

б)

$$\lim_{x \to \infty} (g(x) \cdot f(x)) = \lim_{x \to \infty} g(x) \cdot \lim_{x \to \infty} f(x) = -3 \cdot 2 = -6;$$

Ответ: $-6$.

в)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) \cdot g(x)}{h(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} f(x) \cdot \lim_{x \to \infty} g(x)}{\lim_{x \to \infty} h(x)} = \frac{2 \cdot (-3)}{9} = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3};$$

Ответ: $-\frac{2}{3}$.

г)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2h(x)}{3g(x)} = \frac{2}{3} \cdot \frac{\lim_{x \to \infty} h(x)}{\lim_{x \to \infty} g(x)} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{-3} = \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2;$$

Ответ: $-2$.

Дано:

• $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = 2$
• $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = -3$
• $\displaystyle \lim_{x \to \infty} h(x) = 9$

Найти предел выражений, используя свойства пределов.

а) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x))$

Шаг 1: Применим свойство предела суммы:

$$\lim_{x \to \infty} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to \infty} f(x) + \lim_{x \to \infty} g(x)$$

Шаг 2: Подставим значения:

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = 2,\quad \lim_{x \to \infty} g(x) = -3$$

Шаг 3: Выполним сложение:

$$2 + (-3) = -1$$

Ответ: $\boxed{-1}$

б) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (g(x) \cdot f(x))$

Шаг 1: Применим свойство предела произведения:

$$\lim_{x \to \infty} (g(x) \cdot f(x)) = \lim_{x \to \infty} g(x) \cdot \lim_{x \to \infty} f(x)$$

Шаг 2: Подставим значения:

$$-3 \cdot 2 = -6$$

Ответ: $\boxed{-6}$

в) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x) \cdot g(x)}{h(x)}$

Шаг 1: Применим свойство предела частного (если знаменатель не стремится к нулю):

$$\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) \cdot g(x)}{h(x)} = \frac{\lim_{x \to \infty} f(x) \cdot \lim_{x \to \infty} g(x)}{\lim_{x \to \infty} h(x)}$$

Шаг 2: Подставим значения:

$$\frac{2 \cdot (-3)}{9} = \frac{-6}{9}$$

Шаг 3: Сократим дробь:

$$\frac{-6}{9} = -\frac{2}{3}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{2}{3}}$

г) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2h(x)}{3g(x)}$

Шаг 1: Вынесем числовые коэффициенты:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2h(x)}{3g(x)} = \frac{2}{3} \cdot \lim_{x \to \infty} \frac{h(x)}{g(x)}$$

Шаг 2: Применим свойство предела частного:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{\lim_{x \to \infty} h(x)}{\lim_{x \to \infty} g(x)} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{-3}$$

Шаг 3: Упростим:

$$\frac{9}{-3} = -3,\quad \frac{2}{3} \cdot (-3) = -2$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -2}}$