ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} + \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^3} = 0 + 0 = 0;$$

Ответ: 0.

б)

$$\lim_{x \to \infty} \left( \left( \frac{5}{x^3} + 1 \right) \cdot \left( -\frac{8}{x^2} — 2 \right) \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{5}{x^3} + 1 \right) \cdot \lim_{x \to \infty} \left( -\frac{8}{x^2} — 2 \right) =$$ $$= \left( \lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^3} + 1 \right) \left( \lim_{x \to \infty} \left( -\frac{8}{x^2} \right) — 2 \right) = (0 + 1)(0 — 2) = 1 \cdot (-2) = -2;$$

Ответ: $-2$.

в)

$$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2}{x^2} + \frac{8}{x^3} \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} + \lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^3} = 0 + 0 = 0;$$

Ответ: 0.

г)

$$\lim_{x \to \infty} \left( \left( \frac{7}{x^6} — 2 \right) \cdot \left( -\frac{6}{x^{10}} — 3 \right) \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{7}{x^6} — 2 \right) \cdot \lim_{x \to \infty} \left( -\frac{6}{x^{10}} — 3 \right) =$$ $$= \left( \lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^6} — 2 \right) \left( \lim_{x \to \infty} \left( -\frac{6}{x^{10}} \right) — 3 \right) = (0 — 2)(0 — 3) = (-2) \cdot (-3) = 6;$$

Ответ: 6.

а)

$$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^3} \right)$$

Шаг 1. Разделим предел на два

По свойству предела:

$$\lim(f(x) + g(x)) = \lim f(x) + \lim g(x)$$

Применяем:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} + \lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^3}$$

Шаг 2. Вычислим каждый предел

• $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$ — потому что при $x \to \infty$, знаменатель растёт, дробь убывает к нулю.
• $\lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^3} = 0$ — аналогично, степень ещё выше.

$$\Rightarrow 0 + 0 = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

б)

$$\lim_{x \to \infty} \left( \left( \frac{5}{x^3} + 1 \right) \cdot \left( -\frac{8}{x^2} — 2 \right) \right)$$

Шаг 1. Используем правило для произведения пределов:

$$\lim(f(x) \cdot g(x)) = \lim f(x) \cdot \lim g(x)$$ $$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{5}{x^3} + 1 \right) \cdot \lim_{x \to \infty} \left( -\frac{8}{x^2} — 2 \right)$$

Шаг 2. Считаем отдельно оба предела

1. $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{5}{x^3} + 1 \right) = 0 + 1 = 1$
2. $\lim_{x \to \infty} \left( -\frac{8}{x^2} — 2 \right) = 0 — 2 = -2$

$$1 \cdot (-2) = -2$$

Ответ: $\boxed{-2}$

в)

$$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{2}{x^2} + \frac{8}{x^3} \right)$$

Шаг 1. Разделим предел на два слагаемых:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} + \lim_{x \to \infty} \frac{8}{x^3}$$

Шаг 2. Найдём каждый предел:

• $\lim \frac{2}{x^2} = 0$
• $\lim \frac{8}{x^3} = 0$

$$\Rightarrow 0 + 0 = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

г)

$$\lim_{x \to \infty} \left( \left( \frac{7}{x^6} — 2 \right) \cdot \left( -\frac{6}{x^{10}} — 3 \right) \right)$$

Шаг 1. Используем правило предела произведения:

$$\lim f(x) \cdot \lim g(x)$$

Где:

• $f(x) = \frac{7}{x^6} — 2$
• $g(x) = -\frac{6}{x^{10}} — 3$

Шаг 2. Найдём каждый предел:

1. $\lim_{x \to \infty} \left( \frac{7}{x^6} — 2 \right) = 0 — 2 = -2$
2. $\lim_{x \to \infty} \left( -\frac{6}{x^{10}} — 3 \right) = 0 — 3 = -3$

Шаг 3. Перемножим:

$$(-2) \cdot (-3) = 6$$

Ответ: $\boxed{6}$

Итоговые ответы:

а) 0
б) –2
в) 0
г) 6