ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x+1}{x-2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 — \frac{2}{x}} = \frac{1+0}{1-0} = \frac{1}{1} = 1;$$

Ответ: $1$.

б)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x-4}{2x+7} = \lim_{x \to \infty} \frac{3 — \frac{4}{x}}{2 + \frac{7}{x}} = \frac{3-0}{2+0} = \frac{3}{2} = 1,5;$$

Ответ: $1{,}5$.

в)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x-4}{x+3} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 — \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}} = \frac{1-0}{1+0} = \frac{1}{1} = 1;$$

Ответ: $1$.

г)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{7x+9}{6x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{9}{x}}{6 — \frac{1}{x}} = \frac{7+0}{6-0} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6};$$

Ответ: $1\frac{1}{6}$.

а)

Найти:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x — 2}$$

Шаг 1: Определим старшие степени
И числитель, и знаменатель — многочлены первой степени.
При $x \to \infty$, основное влияние оказывают старшие члены:

• числитель: $x$
• знаменатель: $x$

Шаг 2: Делим числитель и знаменатель на $x$:

$$\frac{x + 1}{x — 2} = \frac{x(1 + \frac{1}{x})}{x(1 — \frac{2}{x})} = \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 — \frac{2}{x}}$$

Шаг 3: Предел при $x \to \infty$

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 — \frac{2}{x}} = \frac{1 + 0}{1 — 0} = \frac{1}{1} = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

б)

Найти:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x — 4}{2x + 7}$$

Шаг 1: Выделим старшие члены
Оба выражения — многочлены первой степени.

Шаг 2: Разделим числитель и знаменатель на $x$:

$$\frac{3x — 4}{2x + 7} = \frac{x(3 — \frac{4}{x})}{x(2 + \frac{7}{x})} = \frac{3 — \frac{4}{x}}{2 + \frac{7}{x}}$$

Шаг 3: Предел при $x \to \infty$:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3 — \frac{4}{x}}{2 + \frac{7}{x}} = \frac{3 — 0}{2 + 0} = \frac{3}{2} = 1{,}5$$

Ответ: $\boxed{1{,}5}$

в)

Найти:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x — 4}{x + 3}$$

Шаг 1: Делим на $x$:

$$\frac{x — 4}{x + 3} = \frac{x(1 — \frac{4}{x})}{x(1 + \frac{3}{x})} = \frac{1 — \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}}$$

Шаг 2: Предел:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{1 — \frac{4}{x}}{1 + \frac{3}{x}} = \frac{1 — 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1$$

Ответ: $\boxed{1}$

г)

Найти:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{7x + 9}{6x — 1}$$

Шаг 1: Делим на $x$:

$$\frac{7x + 9}{6x — 1} = \frac{7 + \frac{9}{x}}{6 — \frac{1}{x}}$$

Шаг 2: Предел:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{9}{x}}{6 — \frac{1}{x}} = \frac{7 + 0}{6 — 0} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 1\frac{1}{6}}}$