ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.15 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = \frac{4 + 0}{1 + 0} = \frac{4}{1} = 4;$$

б)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x — 1}{x^2 + 7x + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} — \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{5}{x^2}} = \frac{0 — 0}{1 + 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0;$$

в)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{-2x — 1}{3x^2 — 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{2}{x} — \frac{1}{x^2}}{3 — \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{-0 — 0}{3 — 0 + 0} = \frac{0}{3} = 0;$$

г)

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{10x^2+4x-3}{5x^2+2x+1}$$

Вычислить значение:

а)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = \frac{4 + 0}{1 + 0} = \frac{4}{1} = 4;$$

Ответ: 4.

б)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x — 1}{x^2 + 7x + 5} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} — \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{5}{x^2}} = \frac{0 — 0}{1 + 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0;$$

Ответ: 0.

в)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{-2x — 1}{3x^2 — 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{2}{x} — \frac{1}{x^2}}{3 — \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{-0 — 0}{3 — 0 + 0} = \frac{0}{3} = 0;$$

Ответ: 0.

г)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 4x — 3}{5x^2 + 2x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{4}{x} — \frac{3}{x^2}}{5 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{10 + 0 — 0}{5 + 0 + 0} = \frac{10}{5} = 2;$$

Ответ: 2.

а)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^2 + 9}{x^2 + 2}$$

Шаг 1: Выделим старшую степень

В числителе и знаменателе старшая степень — $x^2$. Поделим числитель и знаменатель на $x^2$:

$$= \lim_{x \to \infty} \frac{4x^2/x^2 + 9/x^2}{x^2/x^2 + 2/x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{9}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}}$$

Шаг 2: Переходим к пределу

При $x \to \infty$:

$$\frac{9}{x^2} \to 0, \quad \frac{2}{x^2} \to 0$$ $$= \frac{4 + 0}{1 + 0} = \frac{4}{1} = 4$$

Ответ: 4

б)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x — 1}{x^2 + 7x + 5}$$

Шаг 1: Старшая степень в знаменателе — $x^2$. Делим числитель и знаменатель на $x^2$:

$$= \lim_{x \to \infty} \frac{3x/x^2 — 1/x^2}{x^2/x^2 + 7x/x^2 + 5/x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x} — \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{7}{x} + \frac{5}{x^2}}$$

Шаг 2: Предел

При $x \to \infty$:

$$\frac{3}{x} \to 0, \quad \frac{1}{x^2} \to 0, \quad \frac{7}{x} \to 0, \quad \frac{5}{x^2} \to 0$$ $$= \frac{0 — 0}{1 + 0 + 0} = \frac{0}{1} = 0$$

Ответ: 0

в)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{-2x — 1}{3x^2 — 4x + 1}$$

Шаг 1: Делим на $x^2$:

$$= \lim_{x \to \infty} \frac{-2x/x^2 — 1/x^2}{3x^2/x^2 — 4x/x^2 + 1/x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{-\frac{2}{x} — \frac{1}{x^2}}{3 — \frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}$$

Шаг 2: Предел

$$\frac{2}{x} \to 0, \quad \frac{1}{x^2} \to 0, \quad \frac{4}{x} \to 0$$ $$= \frac{-0 — 0}{3 — 0 + 0} = \frac{0}{3} = 0$$

Ответ: 0

г)

$$\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 4x — 3}{5x^2 + 2x + 1}$$

Шаг 1: Делим на $x^2$:

$$= \lim_{x \to \infty} \frac{10 + \frac{4}{x} — \frac{3}{x^2}}{5 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$$

Шаг 2: Предел

$$\frac{4}{x} \to 0, \quad \frac{3}{x^2} \to 0, \quad \frac{2}{x} \to 0, \quad \frac{1}{x^2} \to 0$$ $$= \frac{10 + 0 — 0}{5 + 0 + 0} = \frac{10}{5} = 2$$

Ответ: 2

Итоговые ответы:

а) 4
б) 0
в) 0
г) 2