ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить, имеет ли функция $y = f(x)$ предел при $x \to \pm\infty$, найти значение этого предела, если:

а) Прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 4]$:

$$\lim_{x \to -\infty} y(x) = 3;$$

б) Прямая $y = -2$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[-6; +\infty)$:

$$\lim_{x \to +\infty} y(x) = -2;$$

в) Прямая $y = -5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 3]$:

$$\lim_{x \to -\infty} y(x) = -5;$$

г) Прямая $y = 5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[4; +\infty)$:

$$\lim_{x \to +\infty} y(x) = 5;$$

Определить, имеет ли функция $y = f(x)$ предел при $x \to \pm\infty$, и найти значение этого предела, если:

а) Прямая $y = 3$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 4]$

1. Что это значит?
Если график функции имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to -\infty$, то:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3.$$

2. Почему именно $x \to -\infty$?
Потому что дано, что асимптота действует на промежутке $(-\infty; 4]$, т.е. функция приближается к значению 3, когда $x$ стремится к минус бесконечности.

Вывод:
Функция имеет предел при $x \to -\infty$.
Ответ:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 3.$$

б) Прямая $y = -2$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[-6; +\infty)$

1. Что это значит?
Если $y = -2$ — горизонтальная асимптота, то при $x \to +\infty$:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2.$$

2. Почему именно $x \to +\infty$?
Потому что прямая асимптота указана на луче $[-6; +\infty)$, то есть начиная от $x = -6$ и далее вправо до $+\infty$, график приближается к линии $y = -2$.

Вывод:
Функция имеет предел при $x \to +\infty$.
Ответ:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2.$$

в) Прямая $y = -5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $(-\infty; 3]$

1. Что это значит?
Если $y = -5$ — асимптота на промежутке $(-\infty; 3]$, то при $x \to -\infty$:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -5.$$

2. Почему именно так?
Потому что при $x \to -\infty$ график функции приближается к $y = -5$, так как асимптота описана на левом луче.

Вывод:
Функция имеет предел при $x \to -\infty$.
Ответ:

$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -5.$$

г) Прямая $y = 5$ является горизонтальной асимптотой графика функции на луче $[4; +\infty)$

1. Что это значит?
На промежутке $[4; +\infty)$, график функции приближается к линии $y = 5$ при $x \to +\infty$, т.е.:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5.$$

2. Почему это важно?
Горизонтальная асимптота указывает на поведение функции при больших значениях $x$. Если график стремится к 5 — это и есть значение предела.

Вывод:
Функция имеет предел при $x \to +\infty$.
Ответ:

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 5.$$

Итоговые ответы:

а) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 3$

б) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$

в) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = -5$

г) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=5}$