ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите:

а) ${\lim }_{x\to 1}(x^2-3x+5)$

б) ${\lim }_{x\to \frac{1}{2}}\frac{2x+3}{4x+2}$

в) ${\lim }_{x\to -1}(x^2+6x-8)$

г) ${\lim }_{x\to -\frac{1}{3}}\frac{7x-14}{21x+2}$

Вычислить значение:

а) $\lim_{x \to 1}(x^2 — 3x + 5) = 1^2 — 3 \cdot 1 + 5 = 1 — 3 + 5 = 3$;
Ответ: 3.

б) $\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{2x + 3}{4x + 2} = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} + 3}{4 \cdot \frac{1}{2} + 2} = \frac{1 + 3}{2 + 2} = \frac{4}{4} = 1$;
Ответ: 1.

в) $\lim_{x \to -1}(x^2 + 6x — 8) = (-1)^2 + 6 \cdot (-1) — 8 = 1 — 6 — 8 = -13$;
Ответ: $-13$.

г) $\lim_{x \to -\frac{1}{3}}\frac{7x — 14}{21x + 2} = \frac{7 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) — 14}{21 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 2} = \frac{-\frac{7}{3} — 14}{-7 + 2} = \frac{-\frac{7}{3} — \frac{42}{3}}{-5} = \frac{-\frac{49}{3}}{-5} = \frac{49}{15} = 3\frac{4}{15}$;
Ответ: $3\frac{4}{15}$.

Если функция не имеет разрывов в точке, к которой стремится $x$, и нет деления на ноль, то значение предела можно найти простым подстановкой:

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

Если функция — рациональное выражение (дробь), и при подстановке знаменатель не обращается в 0, также можно подставить прямо.

а)

$$\lim_{x \to 1}(x^2 — 3x + 5)$$

Шаг 1: Проверяем функцию

Это многочлен — непрерывная функция на всей числовой прямой. Предел равен значению функции в точке:

$$f(x) = x^2 — 3x + 5$$

Шаг 2: Подставим $x = 1$

$$f(1) = 1^2 — 3 \cdot 1 + 5 = 1 — 3 + 5 = 3$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 1}(x^2 — 3x + 5) = 3$$

Ответ: 3

б)

$$\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{2x + 3}{4x + 2}$$

Шаг 1: Проверим, нет ли деления на ноль

Подставим $x = \frac{1}{2}$ в знаменатель:

$$4 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 2 + 2 = 4 \ne 0$$

Можно подставлять.

Шаг 2: Вычислим числитель

$$2 \cdot \frac{1}{2} + 3 = 1 + 3 = 4$$

Шаг 3: Вычислим знаменатель

$$4 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 2 + 2 = 4$$

Шаг 4: Подставим

$$\frac{4}{4} = 1$$

Ответ:

$$\lim_{x \to \frac{1}{2}}\frac{2x + 3}{4x + 2} = 1$$

Ответ: 1

в)

$$\lim_{x \to -1}(x^2 + 6x — 8)$$

Шаг 1: Это многочлен — можно сразу подставлять

$$f(-1) = (-1)^2 + 6 \cdot (-1) — 8 = 1 — 6 — 8 = -13$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -1}(x^2 + 6x — 8) = -13$$

Ответ: $-13$

г)

$$\lim_{x \to -\frac{1}{3}} \frac{7x — 14}{21x + 2}$$

Шаг 1: Проверим знаменатель

$$21 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 = -7 + 2 = -5 \ne 0$$

Подставлять можно.

Шаг 2: Вычисляем числитель

$$7 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) — 14 = -\frac{7}{3} — \frac{42}{3} = -\frac{49}{3}$$

Шаг 3: Вычисляем знаменатель

$$21 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 2 = -7 + 2 = -5$$

Шаг 4: Подставим в дробь

$$\frac{-\frac{49}{3}}{-5} = \frac{49}{15}$$

Шаг 5: Переводим в смешанное число (если нужно)

$$\frac{49}{15} = 3 \cdot 15 = 45 \Rightarrow 49 — 45 = 4 \Rightarrow 3 \frac{4}{15}$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -\frac{1}{3}} \frac{7x — 14}{21x + 2} = \frac{49}{15} = 3\frac{4}{15}$$

Ответ: $3\frac{4}{15}$