ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${\lim }_{x\to 5}\sqrt{x+4}$

б) ${\lim }_{x\to 1}\frac{3+4x}{2x^2+6x-3}$

в) ${\lim }_{x\to 6}\sqrt{x+3}$

г) ${\lim }_{x\to -1}\frac{5-2x}{3x^2-2x+4}$

Вычислить значение:

а) $\lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} = \sqrt{5 + 4} = \sqrt{9} = 3$;
Ответ: 3.

б) $\lim_{x \to 1} \frac{3 + 4x}{2x^2 + 6x — 3} = \frac{3 + 4 \cdot 1}{2 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 — 3} = \frac{3 + 4}{2 + 6 — 3} = \frac{7}{5} = 1{,}4$;
Ответ: 1,4.

в) $\lim_{x \to 6} \sqrt{x + 3} = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$;
Ответ: 3.

г) $\lim_{x \to -1} \frac{5 — 2x}{3x^2 — 2x + 4} = \frac{5 — 2 \cdot (-1)}{3 \cdot (-1)^2 — 2 \cdot (-1) + 4} = \frac{5 + 2}{3 + 2 + 4} = \frac{7}{9}$;
Ответ: $\frac{7}{9}$.

Если функция не имеет разрывов в точке, и при подстановке не возникает деления на ноль, то предел можно найти прямой арифметической подстановкой.

Типы выражений:

• Корень $\sqrt{a}$ — вычисляем напрямую, если подкоренное выражение ≥ 0;
• Дробь — проверяем, не обращается ли знаменатель в ноль;
• Многочлен — подставляем напрямую.

а)

$$\lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4}$$

Шаг 1: Подставляем значение

$$x + 4 = 5 + 4 = 9$$ $$\sqrt{9} = 3$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 5} \sqrt{x + 4} = 3$$

Ответ: 3

б)

$$\lim_{x \to 1} \frac{3 + 4x}{2x^2 + 6x — 3}$$

Шаг 1: Проверим, можно ли подставлять

Знаменатель:

$$2x^2 + 6x — 3 \quad \text{при} \quad x = 1:$$ $$2 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 — 3 = 2 + 6 — 3 = 5 \ne 0$$

Можно подставлять.

Шаг 2: Вычисляем числитель

$$3 + 4 \cdot 1 = 3 + 4 = 7$$

Шаг 3: Вычисляем знаменатель

$$2 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 — 3 = 2 + 6 — 3 = 5$$

Шаг 4: Делим

$$\frac{7}{5} = 1.4$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 1} \frac{3 + 4x}{2x^2 + 6x — 3} = \frac{7}{5} = 1{,}4$$

Ответ: 1,4

в)

$$\lim_{x \to 6} \sqrt{x + 3}$$

Шаг 1: Подставим значение

$$x + 3 = 6 + 3 = 9$$ $$\sqrt{9} = 3$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 6} \sqrt{x + 3} = 3$$

Ответ: 3

г)

$$\lim_{x \to -1} \frac{5 — 2x}{3x^2 — 2x + 4}$$

Шаг 1: Проверяем знаменатель

$$3x^2 — 2x + 4 \quad \text{при} \quad x = -1$$

Считаем по шагам:

• $x^2 = (-1)^2 = 1$
• $3x^2 = 3 \cdot 1 = 3$
• $-2x = -2 \cdot (-1) = 2$
• Всё вместе: $3 + 2 + 4 = 9 \ne 0$

Подставлять можно.

Шаг 2: Числитель

$$5 — 2x = 5 — 2 \cdot (-1) = 5 + 2 = 7$$

Шаг 3: Знаменатель

$$3x^2 — 2x + 4 = 3 + 2 + 4 = 9$$

Шаг 4: Делим

$$\frac{7}{9}$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -1} \frac{5 — 2x}{3x^2 — 2x + 4} = \frac{7}{9}$$

Ответ: $\frac{7}{9}$