ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{x^2-x}$

б) ${\lim }_{x\to -2}\frac{x^2-4}{2+x}$

в) ${\lim }_{x\to 5}\frac{x^2-25}{x-5}$

г) ${\lim }_{x\to -3}\frac{3+x}{x^2-9}$

Вычислить значение:

а) $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 — x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x(x — 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x — 1} = \frac{0}{0 — 1} = \frac{0}{-1} = 0$;

Ответ: 0.

б) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 — 4}{2 + x} = \lim_{x \to -2} \frac{(x — 2)(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2} (x — 2) = -2 — 2 = -4$;

Ответ: $-4$.

в) $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 — 25}{x — 5} = \lim_{x \to 5} \frac{(x — 5)(x + 5)}{x — 5} = \lim_{x \to 5} (x + 5) = 5 + 5 = 10$;

Ответ: 10.

г) $\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 — 9} = \lim_{x \to -3} \frac{x + 3}{(x — 3)(x + 3)} = \lim_{x \to -3} \frac{1}{x — 3} = \frac{1}{-3 — 3} = -\frac{1}{6}$;

Ответ: $-\frac{1}{6}$.

Иногда при подстановке значения переменной в выражение получается неопределённость вида $\frac{0}{0}$. В этом случае нужно упростить выражение (например, разложить на множители числитель и знаменатель), сократить, и только после этого подставить.

а)

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 — x}$$

Шаг 1: Подставим напрямую

$$\frac{0^2}{0^2 — 0} = \frac{0}{0} \quad \text{→ неопределённость}$$

Шаг 2: Разложим знаменатель

$$x^2 — x = x(x — 1)$$

Получаем:

$$\frac{x^2}{x(x — 1)} = \frac{x \cdot x}{x(x — 1)} = \frac{x}{x — 1}$$

Шаг 3: Подставим $x = 0$

$$\frac{0}{0 — 1} = \frac{0}{-1} = 0$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2 — x} = 0$$

Ответ: 0

б)

$$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 — 4}{2 + x}$$

Шаг 1: Подставим напрямую

$$\frac{(-2)^2 — 4}{2 + (-2)} = \frac{4 — 4}{0} = \frac{0}{0} \quad \text{→ неопределённость}$$

Шаг 2: Разложим числитель на множители

$$x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)$$

Знаменатель: $2 + x = x + 2$

Получаем:

$$\frac{(x — 2)(x + 2)}{x + 2}$$

Сократим $x + 2$ (для $x \ne -2$):

$$= x — 2$$

Шаг 3: Подставим $x = -2$

$$x — 2 = -2 — 2 = -4$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -2} \frac{x^2 — 4}{2 + x} = -4$$

Ответ: $-4$

в)

$$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 — 25}{x — 5}$$

Шаг 1: Подставим напрямую

$$\frac{25 — 25}{5 — 5} = \frac{0}{0} \quad \text{→ неопределённость}$$

Шаг 2: Разложим числитель на множители

$$x^2 — 25 = (x — 5)(x + 5)$$

Подставим:

$$\frac{(x — 5)(x + 5)}{x — 5}$$

Сократим $x — 5$ (для $x \ne 5$):

$$= x + 5$$

Шаг 3: Подставим $x = 5$

$$x + 5 = 5 + 5 = 10$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 — 25}{x — 5} = 10$$

Ответ: 10

г)

$$\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 — 9}$$

Шаг 1: Подставим напрямую

$$\frac{3 + (-3)}{(-3)^2 — 9} = \frac{0}{9 — 9} = \frac{0}{0} \quad \text{→ неопределённость}$$

Шаг 2: Разложим знаменатель

$$x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)$$

Числитель: $3 + x = x + 3$

Получаем:

$$\frac{x + 3}{(x — 3)(x + 3)} = \frac{1}{x — 3} \quad \text{(при сокращении \( x + 3 \))}$$

Шаг 3: Подставим $x = -3$

$$\frac{1}{-3 — 3} = \frac{1}{-6} = -\frac{1}{6}$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -3} \frac{3 + x}{x^2 — 9} = -\frac{1}{6}$$

Ответ: $-\frac{1}{6}$