ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x-1}$$

б)

$$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x+2}{2x^2+x-6}$$

в)

$$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x+1}{x^2-2x-3}$$

г)

$$\underset{x\to 9}{\lim }\frac{x^2-11x+18}{x-9}$$

Вычислить значение:

а)

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x — 3}{x — 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 3)(x — 1)}{x — 1} = \lim_{x \to 1}(x + 3) = 1 + 3 = 4;$$

Разложим числитель на множители:
$x^2 + 2x — 3 = 0;$
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,$ тогда:
$x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1;$
$(x + 3)(x — 1) = 0;$
Ответ: 4.

б)

$$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x+2}{2x^2+x-6}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x+2}{2(x+2)(x-1,5)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{1}{2x-3}=$$

$$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{2x^2 + x — 6} = \lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{2(x + 2)(x — 1,5)} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{2x — 3} = \frac{1}{2 \cdot (-2) — 3} = \frac{1}{-4 — 3} = -\frac{1}{7};$$

Разложим знаменатель на множители:
$2x^2 + x — 6 = 0;$
$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49,$ тогда:
$x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2;$
$x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1{,}5;$
$2(x + 2)(x — 1{,}5) = 0;$
Ответ: $-\frac{1}{7}$.

в)

$$\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 — 2x — 3} = \lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{(x + 1)(x — 3)} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x — 3} = \frac{1}{-1 — 3} = -\frac{1}{4};$$

Разложим знаменатель на множители:
$x^2 — 2x — 3 = 0;$
$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,$ тогда:
$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1$ и $x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$
$(x + 1)(x — 3) = 0;$
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

г)

$$\lim_{x \to 9} \frac{x^2 — 11x + 18}{x — 9} = \lim_{x \to 9} \frac{(x — 2)(x — 9)}{x — 9} = \lim_{x \to 9}(x — 2) = 9 — 2 = 7;$$

Разложим числитель на множители:
$x^2 — 11x + 18 = 0;$
$D = 11^2 — 4 \cdot 18 = 121 — 72 = 49,$ тогда:
$x_1 = \frac{11 — 7}{2} = 2$ и $x_2 = \frac{11 + 7}{2} = 9;$
$(x — 2)(x — 9) = 0;$
Ответ: 7.

а)

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x — 3}{x — 1}$$

Шаг 1: Проверим подстановку

Подставим $x = 1$:

$$\frac{1^2 + 2 \cdot 1 — 3}{1 — 1} = \frac{1 + 2 — 3}{0} = \frac{0}{0}$$

Это неопределённость, значит — нужно разложить числитель на множители.

Шаг 2: Разложим $x^2 + 2x — 3$

Решим квадратное уравнение:

$$x^2 + 2x — 3 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{-6}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

Разложим:

$$x^2 + 2x — 3 = (x + 3)(x — 1)$$

Шаг 3: Подставим обратно

$$\frac{(x + 3)(x — 1)}{x — 1}$$

Сокращаем $x — 1$ (для $x \ne 1$):

$$= x + 3$$

Шаг 4: Подставим $x = 1$

$$1 + 3 = 4$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 2x — 3}{x — 1} = 4$$

Ответ: 4

б)

$$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{2x^2 + x — 6}$$

Шаг 1: Проверим подстановку

$$\frac{-2 + 2}{2 \cdot 4 + (-2) — 6} = \frac{0}{0} \quad \text{неопределённость}$$

Шаг 2: Разложим знаменатель $2x^2 + x — 6$

Решим уравнение:

$$2x^2 + x — 6 = 0$$

Находим дискриминант:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 6 = 1 + 48 = 49$$

Корни:

$$x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Разложим:

$$2x^2 + x — 6 = 2(x + 2)(x — \frac{3}{2})$$

Шаг 3: Подставим обратно

$$\frac{x + 2}{2(x + 2)(x — \frac{3}{2})}$$

Сокращаем $x + 2$ (при $x \ne -2$):

$$= \frac{1}{2(x — \frac{3}{2})}$$

Шаг 4: Подставим $x = -2$

$$= \frac{1}{2(-2 — \frac{3}{2})} = \frac{1}{2(-\frac{7}{2})} = -\frac{1}{7}$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{2x^2 + x — 6} = -\frac{1}{7}$$

Ответ: $-\frac{1}{7}$

в)

$$\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 — 2x — 3}$$

Шаг 1: Проверим подстановку

$$\frac{-1 + 1}{(-1)^2 — 2 \cdot (-1) — 3} = \frac{0}{1 + 2 — 3} = \frac{0}{0}$$

Неопределённость → разложим знаменатель.

Шаг 2: Разложим $x^2 — 2x — 3$

$$x^2 — 2x — 3 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Корни:

$$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Разложим:

$$x^2 — 2x — 3 = (x + 1)(x — 3)$$

Шаг 3: Подставим обратно

$$\frac{x + 1}{(x + 1)(x — 3)} = \frac{1}{x — 3}$$

Шаг 4: Подставим $x = -1$

$$\frac{1}{-1 — 3} = \frac{1}{-4} = -\frac{1}{4}$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -1} \frac{x + 1}{x^2 — 2x — 3} = -\frac{1}{4}$$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

г)

$$\lim_{x \to 9} \frac{x^2 — 11x + 18}{x — 9}$$

Шаг 1: Проверим подстановку

$$\frac{81 — 99 + 18}{0} = \frac{0}{0}$$

Неопределённость → разложим числитель.

Шаг 2: Решим уравнение $x^2 — 11x + 18 = 0$

$$D = (-11)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 — 72 = 49$$

Корни:

$$x_1 = \frac{11 — 7}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{11 + 7}{2} = 9$$

Разложим:

$$x^2 — 11x + 18 = (x — 2)(x — 9)$$

Шаг 3: Подставим обратно

$$\frac{(x — 2)(x — 9)}{x — 9} = x — 2$$

Шаг 4: Подставим $x = 9$

$$9 — 2 = 7$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 9} \frac{x^2 — 11x + 18}{x — 9} = 7$$

Ответ: 7