ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислить значение:

а)

$$\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x+2}{x^3+8}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x+2}{(x+2)(x^2-2x+4)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{1}{x^2-2x+4}=$$

$$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8} = \lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{(x + 2)(x^2 — 2x + 4)} = \lim_{x \to -2} \frac{1}{x^2 — 2x + 4} = \frac{1}{(-2)^2 — 2 \cdot (-2) + 4} = \frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12};$$

Ответ: $\frac{1}{12}$.

б)

$$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{1+x^3}{1-x^2}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{(1+x)(1-x+x^2)}{(1-x)(1+x)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{1-x+x^2}{1-x}=$$

$$\lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 — x^2} = \lim_{x \to -1} \frac{(1 + x)(1 — x + x^2)}{(1 — x)(1 + x)} = \lim_{x \to -1} \frac{1 — x + x^2}{1 — x} = \frac{1 — (-1) + (-1)^2}{1 — (-1)} = \frac{1 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2} = 1{,}5;$$

Ответ: 1,5.

в)

$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^3-27}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{1}{x^2+3x+9}=$$

$$\lim_{x \to 3} \frac{x — 3}{x^3 — 27} = \lim_{x \to 3} \frac{x — 3}{(x — 3)(x^2 + 3x + 9)} = \lim_{x \to 3} \frac{1}{x^2 + 3x + 9} = \frac{1}{3^2 + 3 \cdot 3 + 9} = \frac{1}{9 + 9 + 9} = \frac{1}{27};$$

Ответ: $\frac{1}{27}$.

г)

$$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{16-x^2}{64-x^3}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{(4-x)(4+x)}{(4-x)(16+4x+x^2)}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{4+x}{16+4x+x^2}=$$

$$\lim_{x \to 4} \frac{16 — x^2}{64 — x^3} = \lim_{x \to 4} \frac{(4 — x)(4 + x)}{(4 — x)(16 + 4x + x^2)} = \lim_{x \to 4} \frac{4 + x}{16 + 4x + x^2} = \frac{4 + 4}{16 + 4 \cdot 4 + 4^2} = \frac{8}{16 + 16 + 16} = \frac{8}{3 \cdot 16} = \frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6};$$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

а)

$$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8}$$

Шаг 1: Проверим подстановку

Подставим $x = -2$:

$$\frac{-2 + 2}{(-2)^3 + 8} = \frac{0}{-8 + 8} = \frac{0}{0}$$

Это неопределённость → нужно разложить знаменатель.

Шаг 2: Разложим знаменатель $x^3 + 8$

Это сумма кубов:

$$x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 — 2x + 4)$$

Шаг 3: Подставим в исходное выражение

$$\frac{x + 2}{(x + 2)(x^2 — 2x + 4)}$$

Сократим $x + 2$ (для $x \ne -2$):

$$= \frac{1}{x^2 — 2x + 4}$$

Шаг 4: Подставим $x = -2$

$$x^2 — 2x + 4 = (-2)^2 — 2 \cdot (-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$$ $$\frac{1}{12}$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -2} \frac{x + 2}{x^3 + 8} = \frac{1}{12}$$

б)

$$\lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 — x^2}$$

Шаг 1: Проверим подстановку

$$\frac{1 + (-1)^3}{1 — (-1)^2} = \frac{1 — 1}{1 — 1} = \frac{0}{0}$$

Неопределённость → разложим числитель и знаменатель.

Шаг 2: Разложим числитель $1 + x^3$

Сумма кубов:

$$1 + x^3 = (1 + x)(1 — x + x^2)$$

Шаг 3: Разложим знаменатель $1 — x^2$

Разность квадратов:

$$1 — x^2 = (1 — x)(1 + x)$$

Шаг 4: Подставим в дробь

$$\frac{(1 + x)(1 — x + x^2)}{(1 — x)(1 + x)} = \frac{1 — x + x^2}{1 — x} \quad \text{(сокращено \( 1 + x \))}$$

Шаг 5: Подставим $x = -1$

• Числитель:

$$1 — (-1) + (-1)^2 = 1 + 1 + 1 = 3$$

• Знаменатель:

$$1 — (-1) = 2$$ $$\frac{3}{2} = 1.5$$

Ответ:

$$\lim_{x \to -1} \frac{1 + x^3}{1 — x^2} = \frac{3}{2} = 1.5$$

в)

$$\lim_{x \to 3} \frac{x — 3}{x^3 — 27}$$

Шаг 1: Проверим подстановку

$$\frac{3 — 3}{3^3 — 27} = \frac{0}{27 — 27} = \frac{0}{0}$$

Неопределённость → разложим знаменатель.

Шаг 2: Разложим $x^3 — 27$

Разность кубов:

$$x^3 — 3^3 = (x — 3)(x^2 + 3x + 9)$$

Шаг 3: Подставим

$$\frac{x — 3}{(x — 3)(x^2 + 3x + 9)} = \frac{1}{x^2 + 3x + 9}$$

Шаг 4: Подставим $x = 3$

$$x^2 + 3x + 9 = 9 + 9 + 9 = 27$$ $$\frac{1}{27}$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x — 3}{x^3 — 27} = \frac{1}{27}$$

г)

$$\lim_{x \to 4} \frac{16 — x^2}{64 — x^3}$$

Шаг 1: Проверим подстановку

$$\frac{16 — 16}{64 — 64} = \frac{0}{0}$$

Неопределённость → раскладываем обе части.

Шаг 2: Разложим числитель $16 — x^2$

$$16 — x^2 = (4 — x)(4 + x)$$

Заменим $4 — x = -(x — 4)$, для удобства:

$$= -(x — 4)(4 + x)$$

Шаг 3: Разложим знаменатель $64 — x^3$

Разность кубов:

$$64 — x^3 = 4^3 — x^3 = (4 — x)(16 + 4x + x^2)$$

Заменим $4 — x = -(x — 4)$, получим:

$$= -(x — 4)(16 + 4x + x^2)$$

Шаг 4: Подставим всё в дробь

$$\frac{-(x — 4)(4 + x)}{-(x — 4)(16 + 4x + x^2)} = \frac{4 + x}{16 + 4x + x^2}$$

Шаг 5: Подставим $x = 4$

• Числитель:

$$4 + 4 = 8$$

• Знаменатель:

$$16 + 16 + 16 = 48$$ $$\frac{8}{48} = \frac{1}{6}$$

Ответ:

$$\underset{x\to 4}{\lim }\frac{16-x^2}{64-x^3}=\frac{1}{6}$$