ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а)

$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2-3x}$$

б)

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7})$$

Вычислить значение:

а)

$$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2 — 3x} = \lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x+6}-3)(\sqrt{x+6}+3)}{(x^2 — 3x)(\sqrt{x+6}+3)} =$$ $$= \lim_{x \to 3} \frac{(x+6) — 9}{x(x — 3)(\sqrt{x+6}+3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x — 3}{x(x — 3)(\sqrt{x+6}+3)} =$$ $$= \lim_{x \to 3} \frac{1}{x(\sqrt{x+6}+3)} = \frac{1}{3(\sqrt{3 + 6} + 3)} = \frac{1}{3(\sqrt{9} + 3)} = \frac{1}{3(3 + 3)} = \frac{1}{18}.$$

Ответ: $\frac{1}{18}$.

б)

$$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x+3} — \sqrt{2x-7}) =$$ $$= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{2x+3} — \sqrt{2x-7})(\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7})}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}} =$$ $$= \lim_{x \to \infty} \frac{(2x+3) — (2x-7)}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}} = \lim_{x \to \infty} \frac{10}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x-7}} = 0;$$

Ответ: $0$.

а)

$$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} — 3}{x^2 — 3x}$$

Шаг 1: Прямая подстановка

$$\text{Числитель: } \sqrt{3 + 6} — 3 = \sqrt{9} — 3 = 3 — 3 = 0$$ $$\text{Знаменатель: } 3^2 — 3 \cdot 3 = 9 — 9 = 0$$

Получаем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Значит, нужно упростить выражение.

Шаг 2: Домножим на сопряжённое

Чтобы избавиться от корня в числителе, используем приём умножения на сопряжённое:

$$\frac{\sqrt{x+6}-3}{x^2 — 3x} \cdot \frac{\sqrt{x+6}+3}{\sqrt{x+6}+3}$$

Шаг 3: Используем формулу разности квадратов

Числитель:

$$(\sqrt{x+6} — 3)(\sqrt{x+6} + 3) = (x+6) — 9 = x — 3$$

Знаменатель:

$$(x^2 — 3x)(\sqrt{x+6} + 3) = x(x — 3)(\sqrt{x+6} + 3)$$

Шаг 4: Запишем дробь после упрощения

$$\frac{x — 3}{x(x — 3)(\sqrt{x+6} + 3)}$$

Сокращаем $x — 3$ (при $x \ne 3$):

$$= \frac{1}{x(\sqrt{x+6} + 3)}$$

Шаг 5: Подставляем $x = 3$

• $x = 3$
• $\sqrt{x + 6} = \sqrt{9} = 3$

$$= \frac{1}{3 \cdot (3 + 3)} = \frac{1}{3 \cdot 6} = \frac{1}{18}$$

Ответ:

$$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 6} — 3}{x^2 — 3x} = \frac{1}{18}$$

б)

$$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{2x + 3} — \sqrt{2x — 7} \right)$$

Шаг 1: Прямая подстановка (приблизительно)

Обе части под корнями растут бесконечно:

• $\sqrt{2x + 3} \to \infty$
• $\sqrt{2x — 7} \to \infty$

Получаем неопределённость вида $\infty — \infty$, нужно преобразовать.

Шаг 2: Умножим на сопряжённое выражение

Используем:

$$a — b = \frac{(a — b)(a + b)}{a + b} = \frac{a^2 — b^2}{a + b}$$

Домножаем:

$$\left( \sqrt{2x + 3} — \sqrt{2x — 7} \right) \cdot \frac{\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x — 7}}{\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x — 7}}$$

Шаг 3: Преобразуем числитель

$$(\sqrt{2x + 3})^2 — (\sqrt{2x — 7})^2 = (2x + 3) — (2x — 7) = 10$$

Шаг 4: Новое выражение

$$\frac{10}{\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x — 7}}$$

Шаг 5: Предел при $x \to \infty$

• $\sqrt{2x + 3} \to \infty$
• $\sqrt{2x — 7} \to \infty$
• $\sqrt{2x + 3} + \sqrt{2x — 7} \to \infty$

Значит:

$$\frac{10}{\infty} = 0$$

Ответ:

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x-7})=0$$