ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти приращение функции $y = 2x — 3$ при переходе от точки $x_0 = 3$ к точке $x_1$, если:

а) $x_1 = 3,2$;
$\Delta y = y(x_1) — y(x_0) = y(3,2) — y(3) = (2 \cdot 3,2 — 3) — (2 \cdot 3 — 3)$;
$\Delta y = 2 \cdot (3,2 — 3) = 2 \cdot 0,2 = 0,4$;
Ответ: 0,4.

б) $x_1 = 2,9$;
$\Delta y = y(x_1) — y(x_0) = y(2,9) — y(3) = (2 \cdot 2,9 — 3) — (2 \cdot 3 — 3)$;
$\Delta y = 2 \cdot (2,9 — 3) = 2 \cdot (-0,1) = -0,2$;
Ответ: -0,2.

в) $x_1 = 3,5$;
$\Delta y = y(x_1) — y(x_0) = y(3,5) — y(3) = (2 \cdot 3,5 — 3) — (2 \cdot 3 — 3)$;
$\Delta y = 2 \cdot (3,5 — 3) = 2 \cdot 0,5 = 1$;
Ответ: 1.

г) $x_1 = 2,5$;
$\Delta y = y(x_1) — y(x_0) = y(2,5) — y(3) = (2 \cdot 2,5 — 3) — (2 \cdot 3 — 3)$;
$\Delta y = 2 \cdot (2,5 — 3) = 2 \cdot (-0,5) = -1$;
Ответ: -1.

Дано: $y=2x-3$, $x_0=3$. Требуется найти приращение функции
$\Delta y = y(x_1)-y(x_0)$ для разных $x_1$.

Общая схема (универсально для всех пунктов)

1. Определения.
   $\displaystyle \Delta x = x_1 — x_0$, $\displaystyle \Delta y = y(x_1)-y(x_0)$.
2. Подставим $y(x)=2x-3$ в формулу для $\Delta y$:

   $$\Delta y = (2x_1-3) — (2x_0-3) = 2x_1 — 3 — 2x_0 + 3 = 2(x_1-x_0) = 2\Delta x.$$

   Для линейной функции $y=kx+b$ приращение всегда равно $k\Delta x$. Здесь $k=2$.

3. Вычислим опорное значение $y(x_0)$ (будет нужно для проверок):

   $$y(3)=2\cdot 3 — 3 = 6 — 3 = 3.$$

Далее для каждого пункта сначала найдём $\Delta x$, затем $\Delta y=2\Delta x$, после чего проверим прямым подсчётом $y(x_1)-y(x_0)$.

а) $x_1=3{,}2$

Шаг 1. $\Delta x = x_1 — x_0 = 3{,}2 — 3{,}0 = 0{,}2.$

Шаг 2. $\Delta y = 2\Delta x = 2 \cdot 0{,}2 = 0{,}4.$

Проверка прямым вычислением:

• $y(3{,}2)=2\cdot 3{,}2 — 3 = 6{,}4 — 3 = 3{,}4.$
• $y(3{,}0)=3{,}0.$
• $y(3{,}2)-y(3{,}0)=3{,}4 — 3{,}0 = 0{,}4.$

Ответ: $0{,}4.$

б) $x_1=2{,}9$

Шаг 1. $\Delta x = 2{,}9 — 3{,}0 = -0{,}1.$

Шаг 2. $\Delta y = 2\Delta x = 2 \cdot (-0{,}1) = -0{,}2.$

Проверка прямым вычислением:

• $y(2{,}9)=2\cdot 2{,}9 — 3 = 5{,}8 — 3 = 2{,}8.$
• $y(3{,}0)=3{,}0.$
• $2{,}8 — 3{,}0 = -0{,}2.$

Ответ: $-0{,}2.$

в) $x_1=3{,}5$

Шаг 1. $\Delta x = 3{,}5 — 3{,}0 = 0{,}5.$

Шаг 2. $\Delta y = 2\Delta x = 2 \cdot 0{,}5 = 1{,}0.$

Проверка прямым вычислением:

• $y(3{,}5)=2\cdot 3{,}5 — 3 = 7{,}0 — 3 = 4{,}0.$
• $y(3{,}0)=3{,}0.$
• $4{,}0 — 3{,}0 = 1{,}0.$

Ответ: $1.$

г) $x_1=2{,}5$

Шаг 1. $\Delta x = 2{,}5 — 3{,}0 = -0{,}5.$

Шаг 2. $\Delta y = 2\Delta x = 2 \cdot (-0{,}5) = -1{,}0.$

Проверка прямым вычислением:

• $y(2{,}5)=2\cdot 2{,}5 — 3 = 5 — 3 = 2.$
• $y(3{,}0)=3.$
• $2 — 3 = -1.$

Ответ: $-1.$