ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.29 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти приращение функции $y = x^2 + 2x$ при переходе от точки $x_0 = -2$ к точке $x_1$, если:

а) $x_1 = -1,9$;
$\Delta y = y(x_1) — y(x_0) = y(-1,9) — y(-2)$;
$\Delta y = ((-1,9)^2 + 2 \cdot (-1,9)) — ((-2)^2 + 2 \cdot (-2))$;
$\Delta y = 1,9 \cdot (1,9 — 2) — (4 — 4) = 1,9 \cdot (-0,1) = -0,19$;
Ответ: $-0,19$.

б) $x_1 = -2,1$;
$\Delta y = y(x_1) — y(x_0) = y(-2,1) — y(-2)$;
$\Delta y = ((-2,1)^2 + 2 \cdot (-2,1)) — ((-2)^2 + 2 \cdot (-2))$;
$\Delta y = 2,1 \cdot (2,1 — 2) — (4 — 4) = 2,1 \cdot 0,1 = 0,21$;
Ответ: $0,21$.

в) $x_1 = -1,5$;
$\Delta y = y(x_1) — y(x_0) = y(-1,5) — y(-2)$;
$\Delta y = ((-1,5)^2 + 2 \cdot (-1,5)) — ((-2)^2 + 2 \cdot (-2))$;
$\Delta y = 1,5 \cdot (1,5 — 2) — (4 — 4) = 1,5 \cdot (-0,5) = -0,75$;
Ответ: $-0,75$.

г) $x_1 = -2,5$;
$\Delta y = y(x_1) — y(x_0) = y(-2,5) — y(-2)$;
$\Delta y = ((-2,5)^2 + 2 \cdot (-2,5)) — ((-2)^2 + 2 \cdot (-2))$;
$\Delta y = 2,5 \cdot (2,5 — 2) — (4 — 4) = 2,5 \cdot 0,5 = 1,25$;
Ответ: $1,25$.

Дано: $y(x)=x^2+2x$, опорная точка $x_0=-2$.
Нужно: $\Delta y = y(x_1)-y(x_0)$ для заданных $x_1$.

Базовые шаги (общие для всех подпунктов)

Вычислим $y(x_0)$:

$$y(-2)=(-2)^2+2\cdot(-2)=4-4=0.$$

Следовательно, во всех подпунктах $\Delta y = y(x_1)-0 = y(x_1)$.

Удобные эквивалентные формы:

• Факторизация: $y(x)=x^2+2x=x(x+2)\Rightarrow y(x_1)=x_1(x_1+2)$.
• Через приращение $\Delta x=x_1-x_0$ (с точной формулой для квадратичной):

$$\Delta y = y(x_0+\Delta x)-y(x_0) = (2x_0+2)\Delta x + (\Delta x)^2.$$

При $x_0=-2$: $2x_0+2=2(-2)+2=-2$, значит

$$\boxed{\;\Delta y = -2\,\Delta x + (\Delta x)^2\;}.$$

Обе формы будем использовать как взаимную проверку.

а) $x_1=-1{,}9$

Шаг 1. $\Delta x$: $\Delta x = -1{,}9 — (-2)=0{,}1.$

Способ 1 (факторизация):

$$y(-1{,}9)=(-1{,}9)\bigl(-1{,}9+2\bigr)=(-1{,}9)\cdot 0{,}1=-0{,}19.$$

Проверка прямым подсчётом с квадратом:

$$(-1{,}9)^2 = \left(\frac{19}{10}\right)^2=\frac{361}{100}=3{,}61,\quad 2\cdot(-1{,}9)=-3{,}8,$$ $$y(-1{,}9)=3{,}61-3{,}8=-0{,}19.$$

Способ 2 (через $\Delta x$):

$$\Delta y=-2\cdot 0{,}1 + (0{,}1)^2 = -0{,}2 + 0{,}01 = -0{,}19.$$

Ответ: $-0{,}19$.

б) $x_1=-2{,}1$

Шаг 1. $\Delta x$: $\Delta x = -2{,}1 — (-2) = -0{,}1.$

Способ 1 (факторизация):

$$y(-2{,}1)=(-2{,}1)\bigl(-2{,}1+2\bigr)=(-2{,}1)\cdot(-0{,}1)=0{,}21.$$

Проверка прямым подсчётом с квадратом:

$$(-2{,}1)^2=\left(\frac{21}{10}\right)^2=\frac{441}{100}=4{,}41,\quad 2\cdot(-2{,}1)=-4{,}2,$$ $$y(-2{,}1)=4{,}41-4{,}2=0{,}21.$$

Способ 2 (через $\Delta x$):

$$\Delta y=-2\cdot(-0{,}1)+(-0{,}1)^2=0{,}2+0{,}01=0{,}21.$$

Ответ: $0{,}21$.

в) $x_1=-1{,}5$

Шаг 1. $\Delta x$: $\Delta x = -1{,}5 — (-2)=0{,}5.$

Способ 1 (факторизация):

$$y(-1{,}5)=(-1{,}5)\bigl(-1{,}5+2\bigr)=(-1{,}5)\cdot 0{,}5=-0{,}75.$$

Проверка прямым подсчётом с квадратом:

$$(-1{,}5)^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2{,}25,\quad 2\cdot(-1{,}5)=-3{,}0,$$ $$y(-1{,}5)=2{,}25-3{,}0=-0{,}75.$$

Способ 2 (через $\Delta x$):

$$\Delta y=-2\cdot 0{,}5 + (0{,}5)^2 = -1{,}0 + 0{,}25 = -0{,}75.$$

Ответ: $-0{,}75$.

г) $x_1=-2{,}5$

Шаг 1. $\Delta x$: $\Delta x = -2{,}5 — (-2)=-0{,}5.$

Способ 1 (факторизация):

$$y(-2{,}5)=(-2{,}5)\bigl(-2{,}5+2\bigr)=(-2{,}5)\cdot(-0{,}5)=1{,}25.$$

Проверка прямым подсчётом с квадратом:

$$(-2{,}5)^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}=6{,}25,\quad 2\cdot(-2{,}5)=-5{,}0,$$ $$y(-2{,}5)=6{,}25-5{,}0=1{,}25.$$

Способ 2 (через $\Delta x$):

$$\Delta y=-2\cdot(-0{,}5)+(-0{,}5)^2=1{,}0+0{,}25=1{,}25.$$

Ответ: $1{,}25$.