ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти приращение функции $y = f(x)$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

а) $f(x) = 3x + 5$;

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = (3(x + \Delta x) + 5) — (3x + 5);$$ $$\Delta f = 3x + 3\Delta x + 5 — 3x — 5 = 3\Delta x;$$

Ответ: $3\Delta x$.

б) $f(x) = -x^2$;

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = -(x + \Delta x)^2 — (-x^2);$$ $$\Delta f = -(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + x^2 = -2x\Delta x — (\Delta x)^2;$$

Ответ: $-2x\Delta x — (\Delta x)^2$.

в) $f(x) = 4 — 2x$;

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = (4 — 2(x + \Delta x)) — (4 — 2x);$$ $$\Delta f = 4 — 2x — 2\Delta x — 4 + 2x = -2\Delta x;$$

Ответ: $-2\Delta x$.

г) $f(x) = 2x^2$;

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = 2(x + \Delta x)^2 — 2x^2;$$ $$\Delta f = 2(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) — 2x^2 = 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2;$$

Ответ: $4x\Delta x + 2(\Delta x)^2$.

Приращение функции:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x)$$

Это выражение показывает, насколько изменилось значение функции при изменении аргумента на $\Delta x$.

а) $f(x) = 3x + 5$

Шаг 1. Подставим в формулу приращения

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = \big(3(x + \Delta x) + 5\big) — \big(3x + 5\big)$$

Шаг 2. Раскроем скобки

$$= (3x + 3\Delta x + 5) — (3x + 5)$$

Шаг 3. Упростим

$$3x + 3\Delta x + 5 — 3x — 5 = 3\Delta x$$

Ответ: $\boxed{3\Delta x}$

б) $f(x) = -x^2$

Шаг 1. Подставим в формулу приращения

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = -\big(x + \Delta x\big)^2 — \big(-x^2\big)$$

Шаг 2. Раскроем квадрат по формуле

$$(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

Шаг 3. Подставим

$$\Delta f = -\left(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2\right) + x^2$$

Шаг 4. Раскроем скобки и упростим

$$= -x^2 — 2x\Delta x — (\Delta x)^2 + x^2$$ $$= (-x^2 + x^2) — 2x\Delta x — (\Delta x)^2 = -2x\Delta x — (\Delta x)^2$$

Ответ: $\boxed{-2x\Delta x — (\Delta x)^2}$

в) $f(x) = 4 — 2x$

Шаг 1. Подставим в формулу приращения

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = \left(4 — 2(x + \Delta x)\right) — \left(4 — 2x\right)$$

Шаг 2. Раскроем скобки

$$= \left(4 — 2x — 2\Delta x\right) — (4 — 2x)$$

Шаг 3. Упростим

$$4 — 2x — 2\Delta x — 4 + 2x = -2\Delta x$$

Ответ: $\boxed{-2\Delta x}$

г) $f(x) = 2x^2$

Шаг 1. Подставим в формулу приращения

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = 2(x + \Delta x)^2 — 2x^2$$

Шаг 2. Раскроем квадрат

$$(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

Шаг 3. Подставим

$$\Delta f = 2(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) — 2x^2$$

Шаг 4. Раскроем скобки и упростим

$$= 2x^2 + 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2 — 2x^2$$ $$= (2x^2 — 2x^2) + 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2 = 4x\Delta x + 2(\Delta x)^2$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 4x\mathrm{\Delta }x+2(\mathrm{\Delta }x{)}^2}}$