ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Для функции у = f(x) найдите $\mathrm{\Delta }$f при переходе от точки х к точке х + $\mathrm{\Delta }$х, если:

а) $f(x) = ax^2$;

б) $f(x) = \dfrac{1}{x}$

Для функции $y = f(x)$ найти $\Delta f$ при переходе от точки $x$ к точке $x + \Delta x$, если:

а) $f(x) = ax^2$;

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = a(x + \Delta x)^2 — ax^2;$$ $$\Delta f = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) — ax^2 = 2ax\Delta x + a(\Delta x)^2;$$

Ответ: $2ax\Delta x + a(\Delta x)^2$.

б) $f(x) = \dfrac{1}{x}$;

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x} = \frac{x — (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = -\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)};$$

Ответ: $-\dfrac{\Delta x}{x(x + \Delta x)}$.

Приращение функции:

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x)$$

Это выражение показывает изменение значения функции при изменении аргумента на $\Delta x$.

а) $f(x) = ax^2$

Шаг 1: Подставим в определение приращения

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = a(x + \Delta x)^2 — a x^2$$

Шаг 2: Раскроем квадрат по формуле

$$(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$

Шаг 3: Подставим разложение

$$\Delta f = a(x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) — a x^2$$

Шаг 4: Раскроем скобки

$$\Delta f = a x^2 + 2a x\Delta x + a(\Delta x)^2 — a x^2$$

Шаг 5: Упростим

$$a x^2 — a x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \Delta f = 2a x\Delta x + a(\Delta x)^2$$

Ответ:

$$\boxed{\Delta f = 2a x\Delta x + a(\Delta x)^2}$$

б) $f(x) = \dfrac{1}{x}$

Шаг 1: Подставим в определение приращения

$$\Delta f = f(x + \Delta x) — f(x) = \frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x}$$

Шаг 2: Приведём к общему знаменателю

Общий знаменатель:

$$x(x + \Delta x)$$

Вычитаем дроби:

$$\Delta f = \frac{x — (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)}$$

Шаг 3: Упростим числитель

$$x — (x + \Delta x) = x — x — \Delta x = -\Delta x$$

Шаг 4: Запишем окончательное выражение

$$\Delta f = \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{\Delta }f=-\frac{\mathrm{\Delta }x}{x(x+\mathrm{\Delta }x)}}}$$