ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Построить эскиз графика какой-нибудь функции $y=f(x)$, обладающей указанными свойствами:

а)${\displaystyle \underset{}{}}$${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=5}$ и $f(x)>0$ на $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$;

б)${\displaystyle \underset{}{}}$${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0}$ и $f(x)<0$ на $(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$.

Построить эскиз графика функции $y=f(x)$, обладающей следующими свойствами:

а)

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=5\text{и}f(x)>0\text{ на }(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$$

Пошаговое объяснение:

1. Что значит предел при $x\to +\mathrm{\infty }$?

Это означает, что при больших значениях $x$, функция приближается к числу 5:

$$\text{чем больше }x,\text{ тем ближе }f(x)\text{ к }5.$$

2. Что значит $f(x)>0$?

Функция всегда принимает только положительные значения. Значит, график будет только выше оси Ox (никогда не опускается ниже или на неё).

Пример функции:

Возьмём функцию:

$$f(x)=5-\frac{1}{x+1}$$

• Для больших $x$: $\frac{1}{x+1}\to 0$, и $f(x)\to 5$;
• Значение всегда положительно:$$f(x)=5-\frac{1}{x+1}>0\text{ для всех }x>-1;$$
• Если хотим функцию определённую на всей числовой прямой, то можем взять:$$f(x)=5-\frac{1}{x^2+1}$$

Проверим свойства:

• $f(x)>0$ для всех $x$, т.к. $x^2+1>0$, а значит, знаменатель положительный, дробь положительная, и $f(x)<5$;
• ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=5}$

Как построить график:

Нарисуйте ось $x$ и $y$;

Отметьте горизонтальную асимптоту: $y=5$ (пунктиром);

Постройте несколько точек:

• $x=0\Rightarrow f(0)=5-\frac{1}{1}=4$
• $x=1\Rightarrow f(1)=5-\frac{1}{2}=4.5$
• $x=5\Rightarrow f(5)=5-\frac{1}{26}\approx 4.96$
• $x=-2\Rightarrow f(-2)=5-\frac{1}{5}=4.8$

Соедините плавной кривой: слева направо, функция поднимается и приближается к 5, но не достигает его.

Как будет выглядеть график:

• Плавная кривая над осью $x$, приближается к $y=5$ справа;
• Никогда не пересекает или касается оси $x$ (всё время выше);
• Поведение симметричное относительно $x=0$, но не обязательно.

б)

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=0\text{и}f(x)<0\text{ на }(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$$

Пошаговое объяснение:

1. Что значит предел при $x\to -\mathrm{\infty }$?

Функция стремится к 0 слева:

$$x\to -\mathrm{\infty }\Rightarrow f(x)\to 0.$$

2. Что значит $f(x)<0$?

Функция принимает только отрицательные значения:

$$\text{График всегда ниже оси }x\mathrm{.}$$

Пример функции:

Возьмём:

$$f(x)=-\frac{1}{x^2+1}$$

Проверим:

• Всегда $f(x)<0$, так как числитель отрицательный, а знаменатель положительный;
• При $x\to -\mathrm{\infty }\Rightarrow f(x)=-\frac{1}{x^2+1}\to 0^{-}$

Как построить график:

Нарисуйте оси;

Отметьте горизонтальную асимптоту: $y=0$ (пунктиром);

Постройте значения:

• $x=0\Rightarrow f(0)=-1$
• $x=-2\Rightarrow f(-2)=-\frac{1}{5}=-0.2$
• $x=-10\Rightarrow f(-10)=-\frac{1}{101}\approx -0.01$

Соедините точки плавной ветвью — кривая лежит ниже оси x, приближается к нулю слева и справа.

Как будет выглядеть график:

• График внизу, никогда не касается оси $x$;
• Имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ слева и справа;
• Плавно убывает до минимума и затем снова растёт к нулю, оставаясь отрицательным.