ГДЗ 10-11 Класс Номер 26.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Построить эскиз графика какой-нибудь функции $y = f(x)$, обладающей указанными свойствами:

а)

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0;$$

б)

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 10, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -2;$$

в)

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = 1;$$

г)

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=3,\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=-4.$$

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3, \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -4.$$

Когда даны односторонние пределы при $x \to \pm\infty$, мы понимаем:

• Функция приближается к горизонтальной асимптоте;
• Поведение может быть различным вблизи $x = 0$ (нет ограничений), но на бесконечности она должна стремиться к указанному числу;
• Мы можем использовать стандартные модификации экспоненциальных и дробно-рациональных функций для создания нужного поведения.

а) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 4$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$

Построение:

• Подходящий пример:

  $$f(x) = \frac{4}{1 + e^{-x}}$$

Проверка свойств:

• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{4}{1 + \infty} = 0$;
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{4}{1 + 0} = 4$.

Как выглядит график:

• Гладкая кривая, возрастающая;
• При $x \to -\infty$ функция прижимается к оси $y = 0$;
• При $x \to +\infty$ приближается к горизонтали $y = 4$;
• Находится между этими значениями.

б) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 10$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -2$

Построение:

• Подходящий пример:

  $$f(x) = \frac{12}{1 + e^{-x}} — 2$$

Проверка:

• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{12}{1 + \infty} — 2 = 0 — 2 = -2$;
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{12}{1 + 0} — 2 = 12 — 2 = 10$.

Как выглядит график:

• Возрастающая функция;
• Горизонтальные асимптоты:
  • $y = -2$ слева;
  • $y = 10$ справа.

в) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -2$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$

Построение:

• Подходящий пример:

  $$f(x) = \frac{-3}{1 + e^{-x}} + 1$$

Проверка:

• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{-3}{1 + \infty} + 1 = 0 + 1 = 1$;
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{-3}{1 + 0} + 1 = -3 + 1 = -2$.

Как выглядит график:

• Убывающая функция;
• Слева стремится к $y = 1$;
• Справа стремится к $y = -2$.

г) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 3$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -4$

Построение:

• Подходящий пример:

  $$f(x) = \frac{7}{1 + e^{-x}} — 4$$

Проверка:

• $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{7}{1 + \infty} — 4 = 0 — 4 = -4$;
• $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{7}{1 + 0} — 4 = 7 — 4 = 3$.

Как выглядит график:

• Возрастающая кривая;
• Горизонтальные асимптоты:
  • $y = -4$ слева;
  • $y = 3$ справа.