ГДЗ 10-11 Класс Номер 27.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Функция $y = f(x)$ задана своим графиком (рисунок 39);
Сравнить значения производной в указанных точках:

(Производная функции положительна на промежутках возрастания функции и отрицательна — на промежутках убывания);

а) $f'(-7)$ и $f'(-2)$;

$$f'(-7) < 0; \quad f'(-2) > 0;$$

Ответ: $f'(-7) < f'(-2)$

б) $f'(-4)$ и $f'(2)$;

$$f'(-4) < 0; \quad f'(2) > 0;$$

Ответ: $f'(-4) < f'(2)$

в) $f'(-9)$ и $f'(0)$;

$$f'(-9) < 0; \quad f'(0) > 0;$$

Ответ: $f'(-9) < f'(0)$

г) $f'(-1)$ и $f'(5)$;

$$f'(-1) > 0; \quad f'(5) < 0;$$

Ответ: $f'(-1) > f'(5)$

Функция $y = f(x)$ задана графически (рисунок 39).
Требуется сравнить значения производной в указанных точках.

Теоретическая основа:

• Производная функции $f'(x)$ в точке показывает, насколько круто поднимается или опускается график в этой точке.
• Геометрически — это угловой коэффициент касательной к графику в данной точке.
• Знак производной:
  • Если график возрастает → $f'(x) > 0$;
  • Если убывает → $f'(x) < 0$;
  • Если касательная горизонтальна → $f'(x) = 0$.

а) Сравнить $f'(-7)$ и $f'(-2)$

Шаг 1: Поведение функции при $x = -7$

• При $x = -7$ график убывает — идёт вниз при движении слева направо.
• Значит:

  $$f'(-7) < 0$$

Шаг 2: Поведение функции при $x = -2$

• При $x = -2$ график возрастает — идёт вверх.
• Значит:

  $$f'(-2) > 0$$

Вывод:

Положительная производная всегда больше отрицательной:

$$f'(-7) < f'(-2)$$

Ответ: $f'(-7) < f'(-2)$

б) Сравнить $f'(-4)$ и $f'(2)$

Шаг 1: $x = -4$

• График спускается — убывание.
• Следовательно:

  $$f'(-4) < 0$$

Шаг 2: $x = 2$

• График поднимается — возрастание.
• Следовательно:

  $$f'(2) > 0$$

Вывод:

$$f'(-4) < f'(2)$$

Ответ: $f'(-4) < f'(2)$

в) Сравнить $f'(-9)$ и $f'(0)$

Шаг 1: $x = -9$

• Сильно левый участок графика — спад, убывание.
• Значит:

  $$f'(-9) < 0$$

Шаг 2: $x = 0$

• По графику: функция возрастает.
• Значит:

  $$f'(0) > 0$$

Вывод:

$$f'(-9) < f'(0)$$

Ответ: $f'(-9) < f'(0)$

г) Сравнить $f'(-1)$ и $f'(5)$

Шаг 1: $x = -1$

• График поднимается → возрастание.
• Значит:

  $$f'(-1) > 0$$

Шаг 2: $x = 5$

• График спускается → убывание.
• Значит:

  $$f'(5) < 0$$

Вывод:

$$f'(-1) > f'(5)$$

Ответ: $f^{\mathrm{\prime }}(-1)>f^{\mathrm{\prime }}(5)$