ГДЗ 10-11 Класс Номер 27.13 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти скорость изменения функции $y = f(x)$ в указанной точке $x_0$:

Производная функции $y = x^2$:

$$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x + \Delta x) — y(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^2 — x^2}{\Delta x};$$ $$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 — x^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x};$$ $$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x;$$

а) $f(x) = x^2, \; x_0 = 2$;

$$f'(x) = (x^2)’ = 2x; \quad f'(2) = 2 \cdot 2 = 4;$$

Ответ: 4

б) $f(x) = x^2, \; x_0 = -1$;

$$f'(x) = (x^2)’ = 2x; \quad f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2;$$

Ответ: -2

в) $f(x) = x^2, \; x_0 = -2$;

$$f'(x) = (x^2)’ = 2x; \quad f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4;$$

Ответ: -4

г) $f(x) = x^2, \; x_0 = 2$;

$$f'(x) = (x^2)’ = 2x; \quad f'(2) = 2 \cdot 2 = 4;$$

Ответ: 4

Найти скорость изменения функции $y = f(x)$ в указанной точке $x_0$, то есть найти значение производной $f'(x_0)$.

Общий случай: производная функции $y = x^2$

Шаг 1: Формула производной через предел

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$

Шаг 2: Подставим $f(x) = x^2$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^2 — x^2}{\Delta x}$$

Шаг 3: Раскроем скобки

$$(x + \Delta x)^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2$$ $$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 — x^2}{\Delta x}$$

Шаг 4: Сократим $x^2$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$$

Шаг 5: Разделим на $\Delta x$

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x)$$

Шаг 6: Предел при $\Delta x \to 0$

$$f'(x) = 2x$$

Вывод: производная функции $f(x) = x^2$ равна $f'(x) = 2x$, то есть скорость изменения квадратичной функции в любой точке пропорциональна самой этой точке.

а) $f(x) = x^2, \; x_0 = 2$

$$f'(x) = 2x$$ $$f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$$

Это означает, что в точке $x = 2$ график поднимается с крутизной 4 (то есть производная положительна, функция возрастает).

Ответ: $\boxed{4}$

б) $f(x) = x^2, \; x_0 = -1$

$$f'(x) = 2x$$ $$f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$$

Значение производной отрицательно → график убывает в этой точке.

Ответ: $\boxed{-2}$

в) $f(x) = x^2, \; x_0 = -2$

$$f'(x) = 2x$$ $$f'(-2) = 2 \cdot (-2) = -4$$

Производная отрицательна, значит, график идёт вниз (убывание) в точке $x = -2$.

Ответ: $\boxed{-4}$

г) $f(x) = x^2, \; x_0 = 2$

Это повтор предыдущего случая (а), но перепишем подробно:

$$f'(x) = 2x$$ $$f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$$

В точке $x = 2$ функция возрастает со скоростью 4.

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 4}}$