ГДЗ 10-11 Класс Номер 27.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти скорость изменения функции $y = f(x)$ в указанной точке $x_0$:

Производная функции $y = \frac{1}{x}$:

$$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{y(x + \Delta x) — y(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x}}{\Delta x};$$ $$y'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x — (x + \Delta x)}{x\Delta x(x + \Delta x)} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\Delta x}{x^2\Delta x + x(\Delta x)^2} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{x^2 + x\Delta x};$$ $$y'(x) = \frac{-1}{x^2 + x \cdot 0} = -\frac{1}{x^2};$$

а) $f(x) = \frac{1}{x}, \quad x_0 = 2$;

$$f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2};$$ $$f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4} = -0{,}25;$$

Ответ: $-0{,}25$

б) $f(x) = \frac{1}{x}, \quad x_0 = -1$;

$$f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2};$$ $$f'(-1) = -\frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1;$$

Ответ: $-1$

в) $f(x) = \frac{1}{x}, \quad x_0 = 5$;

$$f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2};$$ $$f'(5) = -\frac{1}{5^2} = -\frac{1}{25} = -0{,}04;$$

Ответ: $-0{,}04$

г) $f(x) = \frac{1}{x}, \quad x_0 = -0{,}5$;

$$f'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2};$$ $$f'(-0{,}5) = -\frac{1}{(-0{,}5)^2} = -\frac{1}{0{,}25} = -4;$$

Ответ: $-4$

Найти скорость изменения функции $y = f(x)$ в указанной точке $x_0$, то есть найти значение производной $f'(x_0)$.

Производная функции $y = \dfrac{1}{x}$ по определению (через предел):

Шаг 1: Формула производной

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) — f(x)}{\Delta x}$$

Шаг 2: Подставим $f(x) = \frac{1}{x}$:

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{x + \Delta x} — \frac{1}{x}}{\Delta x}$$

Шаг 3: Приведем к общему знаменателю в числителе

$$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{x — (x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x}$$

Шаг 4: Деление дробей

$$= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\Delta x}{x(x + \Delta x)} \cdot \frac{1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-1}{x(x + \Delta x)}$$

Шаг 5: Предел при $\Delta x \to 0$

$$f'(x) = \frac{-1}{x^2}$$

Вывод:
Производная функции $f(x) = \dfrac{1}{x}$ равна:

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$

Это и есть скорость изменения функции $\frac{1}{x}$ в точке $x$.

а) $f(x) = \dfrac{1}{x}, \quad x_0 = 2$

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$

Подставим $x = 2$:

$$f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4} = -0{,}25$$

Интерпретация: функция убывает в этой точке, касательная имеет наклон $-0{,}25$.

Ответ: $\boxed{-0{,}25}$

б) $f(x) = \dfrac{1}{x}, \quad x_0 = -1$

$$f'(-1) = -\frac{1}{(-1)^2} = -\frac{1}{1} = -1$$

Значит, в точке $x = -1$ функция убывает с большей скоростью.

Ответ: $\boxed{-1}$

в) $f(x) = \dfrac{1}{x}, \quad x_0 = 5$

$$f'(5) = -\frac{1}{5^2} = -\frac{1}{25} = -0{,}04$$

Чем дальше от нуля, тем медленнее изменяется функция — производная стремится к нулю.

Ответ: $\boxed{-0{,}04}$

г) $f(x) = \dfrac{1}{x}, \quad x_0 = -0{,}5$

$$f'(-0{,}5) = -\frac{1}{(-0{,}5)^2} = -\frac{1}{0{,}25} = -4$$

Близко к нулю — производная сильно отрицательная, график резко спадает.

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -4}}$