ГДЗ 10-11 Класс Номер 27.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Закон движения точки по прямой задаётся формулой s = s(t), где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени t, если:

а) s(t) = 4t + 1;

б) s(t) = 6t — 2;

в) s(t) = 3t + 2;

г) s(t) = 5t — 1.

Закон движения точки задается формулой: $s = s(t)$;
Найти мгновенную скорость точки в момент времени $t$, если:

а) $s(t) = 4t + 1$;

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(4(t + \Delta t) + 1) — (4t + 1)}{\Delta t};$$ $$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{4t + 4\Delta t — 4t}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{4\Delta t}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} 4 = 4;$$

Ответ: $4$ м/с.

б) $s(t) = 6t — 2$;

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(6(t + \Delta t) — 2) — (6t — 2)}{\Delta t};$$ $$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{6t + 6\Delta t — 6t}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{6\Delta t}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} 6 = 6;$$

Ответ: $6$ м/с.

в) $s(t) = 3t + 2$;

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(3(t + \Delta t) + 2) — (3t + 2)}{\Delta t};$$ $$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{3t + 3\Delta t — 3t}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{3\Delta t}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} 3 = 3;$$

Ответ: $3$ м/с.

г) $s(t) = 5t — 1$;

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(5(t + \Delta t) — 1) — (5t — 1)}{\Delta t};$$ $$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{5t + 5\Delta t — 5t}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{5\Delta t}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} 5 = 5;$$

Ответ: $5$ м/с.

Что такое мгновенная скорость?

Мгновенная скорость $v$ — это предел средней скорости при стремлении приращения времени к нулю:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t}$$

Это определение производной функции $s(t)$ по переменной $t$.

а) $s(t) = 4t + 1$

Шаг 1. Подставим в формулу:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(4(t + \Delta t) + 1) — (4t + 1)}{\Delta t}$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{4t + 4\Delta t + 1 — 4t — 1}{\Delta t}$$

Шаг 3. Упростим числитель:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{4\Delta t}{\Delta t}$$

Шаг 4. Сократим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} 4 = 4$$

Ответ: $\boxed{4\ \text{м/с}}$

б) $s(t) = 6t — 2$

Шаг 1. Подставим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(6(t + \Delta t) — 2) — (6t — 2)}{\Delta t}$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{6t + 6\Delta t — 2 — 6t + 2}{\Delta t}$$

Шаг 3. Упростим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{6\Delta t}{\Delta t}$$

Шаг 4. Сократим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} 6 = 6$$

Ответ: $\boxed{6\ \text{м/с}}$

в) $s(t) = 3t + 2$

Шаг 1. Подставим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(3(t + \Delta t) + 2) — (3t + 2)}{\Delta t}$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{3t + 3\Delta t + 2 — 3t — 2}{\Delta t}$$

Шаг 3. Упростим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{3\Delta t}{\Delta t}$$

Шаг 4. Сократим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} 3 = 3$$

Ответ: $\boxed{3\ \text{м/с}}$

г) $s(t) = 5t — 1$

Шаг 1. Подставим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(5(t + \Delta t) — 1) — (5t — 1)}{\Delta t}$$

Шаг 2. Раскроем скобки:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{5t + 5\Delta t — 1 — 5t + 1}{\Delta t}$$

Шаг 3. Упростим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{5\Delta t}{\Delta t}$$

Шаг 4. Сократим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} 5 = 5$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 5\text{м/с}}}$