ГДЗ 10-11 Класс Номер 27.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Закон движения точки по прямой задаётся формулой s(t) = t², где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени t, если:

а) t = 1 с;

б) t = 2,1 с;

в) t = 2 с;

г) t = 3,5 с.

Указание: ускорение — это скорость изменения скорости.

Закон движения точки задается формулой: $s(t)=t^2$;
Найти скорость движения и ускорение точки в момент времени $t$:

Мгновенная скорость точки:

$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{s(t+\mathrm{\Delta }t)-s(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{(t+\mathrm{\Delta }t{)}^2-t^2}{\mathrm{\Delta }t};$$$$v=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{t^2+2t\mathrm{\Delta }t+(\mathrm{\Delta }t{)}^2-t^2}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{2t\mathrm{\Delta }t+(\mathrm{\Delta }t{)}^2}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }(2t+\mathrm{\Delta }t)=2t;$$

Ускорение точки:

$$a=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{2(t+\mathrm{\Delta }t)-2t}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{2\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }2=2;$$

а) $t=1$ с

$$v(1)=2\cdot 1=2;a(1)=2;$$

Ответ: $2$ м/с; $2$ м/с².

б) $t=\mathrm{2,1}$ с

$$v(\mathrm{2,1})=2\cdot \mathrm{2,1}=\mathrm{4,2};a(\mathrm{2,1})=2;$$

Ответ: $\mathrm{4,2}$ м/с; $2$ м/с².

в) $t=2$ с

$$v(2)=2\cdot 2=4;a(2)=2;$$

Ответ: $4$ м/с; $2$ м/с².

г) $t=\mathrm{3,5}$ с

$$v(\mathrm{3,5})=2\cdot \mathrm{3,5}=7;a(\mathrm{3,5})=2;$$

Ответ: $7$ м/с; $2$ м/с².

Закон движения точки задан формулой:

$$s(t)=t^2$$

Найти:

• мгновенную скорость $v(t)$,
• ускорение $a(t)$,
  в заданные моменты времени $t$.

Шаг 1. Формула для мгновенной скорости

Мгновенная скорость — это производная функции пути $s(t)$ по времени:

$$v(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{s(t+\mathrm{\Delta }t)-s(t)}{\mathrm{\Delta }t}$$

Подставим $s(t)=t^2$:

$$v(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{(t+\mathrm{\Delta }t{)}^2-t^2}{\mathrm{\Delta }t}$$

Шаг 2. Раскроем скобки в числителе

$$(t+\mathrm{\Delta }t{)}^2=t^2+2t\mathrm{\Delta }t+(\mathrm{\Delta }t{)}^2\Rightarrow (t+\mathrm{\Delta }t{)}^2-t^2=2t\mathrm{\Delta }t+(\mathrm{\Delta }t{)}^2$$

Шаг 3. Подставим и упростим

$$v(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{2t\mathrm{\Delta }t+(\mathrm{\Delta }t{)}^2}{\mathrm{\Delta }t}$$

Вынесем $\mathrm{\Delta }t$ в числителе:

$$v(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }t(2t+\mathrm{\Delta }t)}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }(2t+\mathrm{\Delta }t)=2t$$

Итоговая формула скорости:

$$\boxed{{\displaystyle v(t)=2t}}$$

Шаг 4. Найдём ускорение

Ускорение — это производная скорости по времени:

$$a(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{v(t+\mathrm{\Delta }t)-v(t)}{\mathrm{\Delta }t}$$

Поскольку:

$$v(t)=2t\Rightarrow v(t+\mathrm{\Delta }t)=2(t+\mathrm{\Delta }t)=2t+2\mathrm{\Delta }t$$

Тогда:

$$a(t)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{(2t+2\mathrm{\Delta }t)-2t}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }\frac{2\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }t}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{\lim }2=2$$

Итоговая формула ускорения:

$$\boxed{{\displaystyle a(t)=2}}$$

(постоянное ускорение)

Теперь подставим значения времени.

а) $t=1$ с

• Скорость:

$$v(1)=2\cdot 1=2\text{ м/с}$$

• Ускорение:

$$a(1)=2{\text{м/с}}^2$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 2\text{ м/с};2{\text{м/с}}^2}}$$

б) $t=\mathrm{2,1}$ с

• Скорость:

$$v(\mathrm{2,1})=2\cdot \mathrm{2,1}=\mathrm{4,2}\text{ м/с}$$

• Ускорение:

$$a(\mathrm{2,1})=2{\text{м/с}}^2$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{4,2}\text{ м/с};2{\text{м/с}}^2}}$$

в) $t=2$ с

• Скорость:

$$v(2)=2\cdot 2=4\text{ м/с}$$

• Ускорение:

$$a(2)=2{\text{м/с}}^2$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 4\text{ м/с};2{\text{м/с}}^2}}$$

г) $t=\mathrm{3,5}$ с

• Скорость:

$$v(\mathrm{3,5})=2\cdot \mathrm{3,5}=7\text{ м/с}$$

• Ускорение:

$$a(\mathrm{3,5})=2{\text{м/с}}^2$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 7\text{ м/с};2{\text{м/с}}^2}}$$