ГДЗ 10-11 Класс Номер 27.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Закон движения точки задается формулой: $s(t) = 2t^2 + t$;
Найти среднюю скорость с момента времени $t_1 = 0$ с до момента:

а) $t_2 = 0{,}6$ с;

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) — s(t_1)}{t_2 — t_1} = \frac{(2 \cdot 0{,}6^2 + 0{,}6) — (2 \cdot 0^2 + 0)}{0{,}6 — 0};$$ $$v_{\text{ср}} = \frac{0{,}6 \cdot (2 \cdot 0{,}6 + 1) — 0}{0{,}6} = 2 \cdot 0{,}6 + 1 = 1{,}2 + 1 = 2{,}2;$$

Ответ: 2,2 м/с.

б) $t_2 = 0{,}2$ с;

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) — s(t_1)}{t_2 — t_1} = \frac{(2 \cdot 0{,}2^2 + 0{,}2) — (2 \cdot 0^2 + 0)}{0{,}2 — 0};$$ $$v_{\text{ср}} = \frac{0{,}2 \cdot (2 \cdot 0{,}2 + 1) — 0}{0{,}2} = 2 \cdot 0{,}2 + 1 = 0{,}4 + 1 = 1{,}4;$$

Ответ: 1,4 м/с.

в) $t_2 = 0{,}5$ с;

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) — s(t_1)}{t_2 — t_1} = \frac{(2 \cdot 0{,}5^2 + 0{,}5) — (2 \cdot 0^2 + 0)}{0{,}5 — 0};$$ $$v_{\text{ср}} = \frac{0{,}5 \cdot (2 \cdot 0{,}5 + 1) — 0}{0{,}5} = 2 \cdot 0{,}5 + 1 = 1 + 1 = 2;$$

Ответ: 2 м/с.

г) $t_2 = 0{,}1$ с;

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) — s(t_1)}{t_2 — t_1} = \frac{(2 \cdot 0{,}1^2 + 0{,}1) — (2 \cdot 0^2 + 0)}{0{,}1 — 0};$$ $$v_{\text{ср}} = \frac{0{,}1 \cdot (2 \cdot 0{,}1 + 1) — 0}{0{,}1} = 2 \cdot 0{,}1 + 1 = 0{,}2 + 1 = 1{,}2;$$

Ответ: 1,2 м/с.

Закон движения точки задается формулой:

$$s(t) = 2t^2 + t,$$

где:

• $s(t)$ — путь (в метрах), пройденный телом за время $t$ (в секундах),
• $t$ — время.

Нужно найти среднюю скорость на промежутке времени от $t_1 = 0$ до различных значений $t_2$.

Формула средней скорости:

Средняя скорость $v_{\text{ср}}$ за интервал времени $[t_1; t_2]$ определяется по формуле:

$$v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) — s(t_1)}{t_2 — t_1},$$

где:

• $\Delta s = s(t_2) — s(t_1)$ — приращение пути,
• $\Delta t = t_2 — t_1$ — приращение времени.

а) При $t_2 = 0{,}6$ с

Шаг 1: Найдём $s(t_1) = s(0)$

$$s(0) = 2 \cdot 0^2 + 0 = 0$$

Шаг 2: Найдём $s(t_2) = s(0{,}6)$

$$s(0{,}6) = 2 \cdot (0{,}6)^2 + 0{,}6 = 2 \cdot 0{,}36 + 0{,}6 = 0{,}72 + 0{,}6 = 1{,}32$$

Шаг 3: Найдём приращение пути $\Delta s$

$$\Delta s = s(0{,}6) — s(0) = 1{,}32 — 0 = 1{,}32$$

Шаг 4: Найдём приращение времени $\Delta t$

$$\Delta t = 0{,}6 — 0 = 0{,}6$$

Шаг 5: Найдём среднюю скорость

$$v_{\text{ср}} = \frac{1{,}32}{0{,}6} = 2{,}2 \, \text{м/с}$$

Ответ: 2,2 м/с

б) При $t_2 = 0{,}2$ с

Шаг 1: $s(0) = 0$ (уже найдено)

Шаг 2: Найдём $s(0{,}2)$

$$s(0{,}2) = 2 \cdot (0{,}2)^2 + 0{,}2 = 2 \cdot 0{,}04 + 0{,}2 = 0{,}08 + 0{,}2 = 0{,}28$$

Шаг 3: $\Delta s = 0{,}28 — 0 = 0{,}28$

Шаг 4: $\Delta t = 0{,}2 — 0 = 0{,}2$

Шаг 5: $v_{\text{ср}} = \frac{0{,}28}{0{,}2} = 1{,}4 \, \text{м/с}$

Ответ: 1,4 м/с

в) При $t_2 = 0{,}5$ с

Шаг 1: $s(0) = 0$

Шаг 2: $s(0{,}5) = 2 \cdot (0{,}5)^2 + 0{,}5 = 2 \cdot 0{,}25 + 0{,}5 = 0{,}5 + 0{,}5 = 1$

Шаг 3: $\Delta s = 1 — 0 = 1$

Шаг 4: $\Delta t = 0{,}5$

Шаг 5: $v_{\text{ср}} = \frac{1}{0{,}5} = 2 \, \text{м/с}$

Ответ: 2 м/с

г) При $t_2 = 0{,}1$ с

Шаг 1: $s(0) = 0$

Шаг 2: $s(0{,}1) = 2 \cdot (0{,}1)^2 + 0{,}1 = 2 \cdot 0{,}01 + 0{,}1 = 0{,}02 + 0{,}1 = 0{,}12$

Шаг 3: $\Delta s = 0{,}12$

Шаг 4: $\Delta t = 0{,}1$

Шаг 5: $v_{\text{ср}} = \frac{0{,}12}{0{,}1} = 1{,}2 \, \text{м/с}$

Ответ: 1,2 м/с

Итоговые ответы:

а) $v_{\text{ср}} = 2{,}2 \, \text{м/с}$
б) $v_{\text{ср}} = 1{,}4 \, \text{м/с}$
в) $v_{\text{ср}} = 2 \, \text{м/с}$
г) $v_{\text{ср}}=\mathrm{1,2}\text{м/с}$