ГДЗ 10-11 Класс Номер 27.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Закон движения точки по прямой задаётся формулой s = s(t), где t — время, s(t) — отклонение точки в момент времени t от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки в момент времени t, если:

а) s(t) = t² + 3;

б) s(t) = t² — t;

в) s(t) = t² + 4;

г) s(t) = t² — 2t.

Закон движения точки задается формулой: $s = s(t)$;
Найти мгновенную скорость точки в момент времени $t$, если:

а) $s(t) = t^2 + 3$;

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{((t + \Delta t)^2 + 3) — (t^2 + 3)}{\Delta t};$$ $$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 — t^2}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2t\Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (2t + \Delta t) = 2t;$$

Ответ: $2t$

б) $s(t) = t^2 — t$;

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{((t + \Delta t)^2 — (t + \Delta t)) — (t^2 — t)}{\Delta t};$$ $$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 — t — \Delta t — t^2 + t}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2t\Delta t + (\Delta t)^2 — \Delta t}{\Delta t};$$ $$v = \lim_{\Delta t \to 0} (2t + \Delta t — 1) = 2t — 1;$$

Ответ: $2t — 1$

в) $s(t) = t^2 + 4$;

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{((t + \Delta t)^2 + 4) — (t^2 + 4)}{\Delta t};$$ $$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 — t^2}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2t\Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} (2t + \Delta t) = 2t;$$

Ответ: $2t$

г) $s(t) = t^2 — 2t$;

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{((t + \Delta t)^2 — 2(t + \Delta t)) — (t^2 — 2t)}{\Delta t};$$ $$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 — 2t — 2\Delta t — t^2 + 2t}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2t\Delta t + (\Delta t)^2 — 2\Delta t}{\Delta t};$$ $$v = \lim_{\Delta t \to 0} (2t + \Delta t — 2) = 2t — 2;$$

Ответ: $2t — 2$

Закон движения точки задан функцией:

$$s = s(t)$$

Нужно найти мгновенную скорость в момент времени $t$, то есть найти производную функции $s(t)$ по переменной $t$.

Формула для мгновенной скорости:

Мгновенная скорость определяется как предел среднего изменения пути при стремлении изменения времени к нулю:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) — s(t)}{\Delta t}$$

а) $s(t) = t^2 + 3$

Шаг 1. Подставим в формулу

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(t + \Delta t)^2 + 3 — (t^2 + 3)}{\Delta t}$$

Шаг 2. Раскроем квадрат

$$(t + \Delta t)^2 = t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2$$

Подставим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 + 3 — t^2 — 3}{\Delta t}$$

Шаг 3. Сократим одинаковые члены

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2t\Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t}$$

Шаг 4. Разделим числитель на $\Delta t$

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} (2t + \Delta t)$$

Шаг 5. Переход к пределу

$$v = 2t$$

Ответ: $\boxed{2t}$

б) $s(t) = t^2 — t$

Шаг 1. Подставим в формулу

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(t + \Delta t)^2 — (t + \Delta t) — (t^2 — t)}{\Delta t}$$

Шаг 2. Раскроем скобки

$$(t + \Delta t)^2 = t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2$$ $$-(t + \Delta t) = -t — \Delta t$$

Подставим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 — t — \Delta t — t^2 + t}{\Delta t}$$

Шаг 3. Сократим одинаковые члены

$$t^2 — t^2 = 0,\quad -t + t = 0$$

Остаётся:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2t\Delta t + (\Delta t)^2 — \Delta t}{\Delta t}$$

Шаг 4. Разделим по членам

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \left(2t + \Delta t — 1\right)$$

Шаг 5. Переход к пределу

$$v = 2t — 1$$

Ответ: $\boxed{2t — 1}$

в) $s(t) = t^2 + 4$

Шаг 1. Подставим в формулу

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(t + \Delta t)^2 + 4 — (t^2 + 4)}{\Delta t}$$

Шаг 2. Раскроем скобки

$$(t + \Delta t)^2 = t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2$$

Подставим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 + 4 — t^2 — 4}{\Delta t}$$

Шаг 3. Сокращаем одинаковые члены

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2t\Delta t + (\Delta t)^2}{\Delta t}$$

Шаг 4. Разделим на $\Delta t$

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} (2t + \Delta t)$$

Шаг 5. Предел

$$v = 2t$$

Ответ: $\boxed{2t}$

г) $s(t) = t^2 — 2t$

Шаг 1. Подставим в формулу

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(t + \Delta t)^2 — 2(t + \Delta t) — (t^2 — 2t)}{\Delta t}$$

Шаг 2. Раскроем скобки

$$(t + \Delta t)^2 = t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2$$ $$-2(t + \Delta t) = -2t — 2\Delta t$$

Подставим:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{t^2 + 2t\Delta t + (\Delta t)^2 — 2t — 2\Delta t — t^2 + 2t}{\Delta t}$$

Шаг 3. Сокращаем одинаковые члены

$$t^2 — t^2 = 0,\quad -2t + 2t = 0$$

Остаётся:

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{2t\Delta t + (\Delta t)^2 — 2\Delta t}{\Delta t}$$

Шаг 4. Делим на $\Delta t$

$$v = \lim_{\Delta t \to 0} (2t + \Delta t — 2)$$

Шаг 5. Предел

$$v = 2t — 2$$

Ответ: $\boxed{2t — 2}$

Итоговые ответы:

а) $v = 2t$
б) $v = 2t — 1$
в) $v = 2t$
г) $v=2t-2$