ГДЗ 10-11 Класс Номер 27.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Функция $y = f(x)$ задана своим графиком;
Найти значения $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$, если график функции изображен:

(Производная функции в точке $x_0$ равна углу наклона касательной,
проведенной к графику этой функции в точке $x_0$, к положительному
направлению оси абсцисс);

а) На рисунке 35:

$$f'(x_1) = \tg 60^\circ = \sqrt{3};$$ $$f'(x_2) = \tg 45^\circ = 1;$$

б) На рисунке 36:

$$f'(x_1) = \tg(180^\circ + 30^\circ) = \tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3};$$ $$f'(x_2) = \tg 180^\circ = \tg 0^\circ = 0;$$

в) На рисунке 37:

$$f'(x_1) = \tg 180^\circ = \tg 0^\circ = 0;$$ $$f'(x_2) = \tg 150^\circ = \tg(90^\circ + 60^\circ) = -\ctg 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3};$$

г) На рисунке 38:

$$f'(x_1) = \tg 180^\circ = \tg 0^\circ = 0;$$ $$f'(x_2) = \tg 180^\circ = \tg 0^\circ = 0;$$

Функция $y = f(x)$ задана графически. Требуется найти значения производной функции в двух точках: $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$, используя информацию с графика.

Геометрический смысл производной:

Производная функции $f'(x_0)$ в точке $x_0$ равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке, к положительному направлению оси $x$ (горизонтальной оси).

Запись:

$$f'(x_0) = \tan(\alpha),$$

где $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси абсцисс.

а) На рисунке 35

1. В точке $x_1$:

• Касательная наклонена под углом $\alpha = 60^\circ$ к оси $x$ (вверх вправо).

$$f'(x_1) = \tan 60^\circ = \sqrt{3}$$

2. В точке $x_2$:

• Касательная под углом $\alpha = 45^\circ$ (вверх под углом 45°, то есть «диагонально»).

$$f'(x_2) = \tan 45^\circ = 1$$

Ответ:

• $f'(x_1) = \sqrt{3}$
• $f'(x_2) = 1$

б) На рисунке 36

1. В точке $x_1$:

• Касательная направлена вниз, угол между касательной и положительным направлением оси $x$ — $180^\circ + 30^\circ = 210^\circ$.
  Но тангенс угла периодичен:

$$\tan(210^\circ) = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

(Поскольку тангенс положительный и угол находится в третьей четверти.)

$$f'(x_1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

2. В точке $x_2$:

• Касательная горизонтальна, угол наклона $\alpha = 180^\circ$ (или $0^\circ$)

$$f'(x_2) = \tan 180^\circ = \tan 0^\circ = 0$$

Ответ:

• $f'(x_1) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
• $f'(x_2) = 0$

в) На рисунке 37

1. В точке $x_1$:

• Касательная горизонтальна:

$$f'(x_1) = \tan 180^\circ = \tan 0^\circ = 0$$

2. В точке $x_2$:

• Касательная направлена вниз, угол $\alpha = 150^\circ$
  Угол $150^\circ = 90^\circ + 60^\circ$, то есть вторая четверть.

$$\tan(150^\circ) = -\cot 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

(Так как тангенс в 2-й четверти отрицательный, и здесь используется формула перехода через 90°.)

Ответ:

• $f'(x_1) = 0$
• $f'(x_2) = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

г) На рисунке 38

1. В точке $x_1$:

• Касательная горизонтальна:

$$f'(x_1) = \tan 0^\circ = 0$$

2. В точке $x_2$:

• Также касательная горизонтальна:

$$f'(x_2) = \tan 0^\circ = 0$$

Ответ:

• $f'(x_1) = 0$
• $f^{\mathrm{\prime }}(x_2)=0$