ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите производную функции:

а) $y = x^2 — 7x$;

${}^{}$б) $y = \sqrt{x} — 9x^2$;

в) $y = 7x^2 + 3x$;

г) $y = \sqrt{x} — 5x^2$

Найти производную функции:

а) $y = x^2 — 7x$;
$y'(x) = (x^2)’ — (7x)’ = 2x — 7$;

б) $y = \sqrt{x} — 9x^2$;
$y'(x) = (\sqrt{x})’ — 9(x^2)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 9 \cdot 2x = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 18x$;

в) $y = 7x^2 + 3x$;
$y'(x) = 7(x^2)’ + (3x)’ = 7 \cdot 2x + 3 = 14x + 3$;

г) $y = \sqrt{x} — 5x^2$;
$y'(x) = (\sqrt{x})’ — 5(x^2)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 5 \cdot 2x = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 10x$;

а) $y = x^2 — 7x$

Шаг 1: Применим правило разности производных

$$y'(x) = (x^2)’ — (7x)’$$

Шаг 2: Найдём каждую производную

• $(x^2)’ = 2x$
• $(7x)’ = 7 \cdot (x)’ = 7 \cdot 1 = 7$

Шаг 3: Вычитаем

$$y'(x) = 2x — 7$$

Ответ: $\boxed{2x — 7}$

б) $y = \sqrt{x} — 9x^2$

Шаг 1: Представим корень как степень

$$\sqrt{x} = x^{1/2}$$

Шаг 2: Применим правило разности производных

$$y'(x) = (x^{1/2})’ — 9(x^2)’$$

Шаг 3: Используем формулу производной степенной функции

• $(x^{1/2})’ = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $(x^2)’ = 2x$, значит:

$$9(x^2)’ = 9 \cdot 2x = 18x$$

Шаг 4: Вычитаем

$$y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 18x$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{2\sqrt{x}} — 18x}$

в) $y = 7x^2 + 3x$

Шаг 1: Применим правило суммы производных

$$y'(x) = 7(x^2)’ + (3x)’$$

Шаг 2: Найдём производные

• $(x^2)’ = 2x \Rightarrow 7(x^2)’ = 7 \cdot 2x = 14x$
• $(3x)’ = 3$

Шаг 3: Складываем

$$y'(x) = 14x + 3$$

Ответ: $\boxed{14x + 3}$

г) $y = \sqrt{x} — 5x^2$

Шаг 1: Представим корень как степень

$$\sqrt{x} = x^{1/2}$$

Шаг 2: Применим правило разности

$$y'(x) = (x^{1/2})’ — 5(x^2)’$$

Шаг 3: Найдём производные

• $(x^{1/2})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $(x^2)’ = 2x \Rightarrow 5(x^2)’ = 5 \cdot 2x = 10x$

Шаг 4: Вычитаем

$$y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 10x$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}-10x}}$