ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.11 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти производную функции:

а) $y = \frac{1}{x} + 4x$;
$y'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ + (4x)’ = -\frac{1}{x^2} + 4 = 4 — \frac{1}{x^2}$;

б) $y = -2\sqrt{x} — \frac{1}{x}$;
$y'(x) = -2(\sqrt{x})’ — \left( \frac{1}{x} \right)’ = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — \left( -\frac{1}{x^2} \right) = \frac{1}{x^2} — \frac{1}{\sqrt{x}}$;

в) $y = \frac{1}{x} — 6x$;
$y'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ — (6x)’ = -\frac{1}{x^2} — 6$;

г) $y = 8\sqrt{x} + \frac{1}{x}$;
$y'(x) = 8(\sqrt{x})’ + \left( \frac{1}{x} \right)’ = 8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — \frac{1}{x^2} = \frac{4}{\sqrt{x}} — \frac{1}{x^2}$

а) $y = \dfrac{1}{x} + 4x$

Шаг 1: Используем правило суммы производных

$$y'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ + (4x)’$$

Шаг 2: Найдём производные каждого слагаемого

• $\left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$
• $(4x)’ = 4 \cdot (x)’ = 4 \cdot 1 = 4$

Шаг 3: Складываем

$$y'(x) = -\frac{1}{x^2} + 4$$

Шаг 4: Запишем с положительным слагаемым первым

$$y'(x) = 4 — \frac{1}{x^2}$$

Ответ: $\boxed{4 — \dfrac{1}{x^2}}$

б) $y = -2\sqrt{x} — \dfrac{1}{x}$

Шаг 1: Представим корень как степень

$$\sqrt{x} = x^{1/2}$$

Шаг 2: Используем правило разности

$$y'(x) = -2(x^{1/2})’ — \left( \frac{1}{x} \right)’$$

Шаг 3: Находим производные

• $(x^{1/2})’ = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $\left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$

Шаг 4: Применяем множители

• $-2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$
• Минус перед производной $-\left( -\frac{1}{x^2} \right) = +\frac{1}{x^2}$

Шаг 5: Складываем

$$y'(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{x^2} — \frac{1}{\sqrt{x}}}$

в) $y = \dfrac{1}{x} — 6x$

Шаг 1: Используем правило разности

$$y'(x) = \left( \frac{1}{x} \right)’ — (6x)’$$

Шаг 2: Находим производные

• $\left( \frac{1}{x} \right)’ = -\frac{1}{x^2}$
• $(6x)’ = 6$

Шаг 3: Подставим

$$y'(x) = -\frac{1}{x^2} — 6$$

Ответ: $\boxed{-\frac{1}{x^2} — 6}$

г) $y = 8\sqrt{x} + \dfrac{1}{x}$

Шаг 1: Перепишем через степени

• $\sqrt{x} = x^{1/2}$
• $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$

Шаг 2: Производные по правилу суммы

$$y'(x) = 8(x^{1/2})’ + (x^{-1})’$$

Шаг 3: Находим производные

• $(x^{1/2})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow 8 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{4}{\sqrt{x}}$
• $(x^{-1})’ = -\frac{1}{x^2}$

Шаг 4: Складываем

$$y'(x) = \frac{4}{\sqrt{x}} — \frac{1}{x^2}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^2}}}$