ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.18 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $$$y = \frac{x^3}{2x + 4}$;

б) $$$y = \frac{x^2}{x^2 — 1}$;

в) $$$y = \frac{x^2}{3 — 4x}$;

г) $$$y = \frac{x}{x^2 + 1}$

Найти производную функции:

а) $$$y = \frac{x^3}{2x + 4}$;

$$y'(x) = \frac{(x^3)’ \cdot (2x + 4) — x^3 \cdot (2x + 4)’}{(2x + 4)^2} = \frac{3x^2 \cdot (2x + 4) — x^3 \cdot 2}{(2x + 4)^2};$$ $$y'(x) = \frac{6x^3 + 12x^2 — 2x^3}{(2(x + 2))^2} = \frac{4x^3 + 12x^2}{4(x + 2)^2} = \frac{x^2 \cdot (x + 3)}{(x + 2)^2};$$

б) $$$y = \frac{x^2}{x^2 — 1}$;

$$y'(x) = \frac{(x^2)’ \cdot (x^2 — 1) — x^2 \cdot (x^2 — 1)’}{(x^2 — 1)^2} = \frac{2x \cdot (x^2 — 1) — x^2 \cdot (2x — 0)}{(x^2 — 1)^2};$$ $$y'(x) = \frac{2x^3 — 2x — 2x^3}{(x^2 — 1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 — 1)^2};$$

в) $$$y = \frac{x^2}{3 — 4x}$;

$$y'(x) = \frac{(x^2)’ \cdot (3 — 4x) — x^2 \cdot (3 — 4x)’}{(3 — 4x)^2} = \frac{2x \cdot (3 — 4x) — x^2 \cdot (-4)}{(3 — 4x)^2};$$ $$y'(x) = \frac{6x — 8x^2 + 4x^2}{(3 — 4x)^2} = \frac{6x — 4x^2}{(3 — 4x)^2} = \frac{2x \cdot (3 — 2x)}{(3 — 4x)^2};$$

г) $$$y = \frac{x}{x^2 + 1}$;

$$y'(x) = \frac{(x)’ \cdot (x^2 + 1) — x \cdot (x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) — x \cdot (2x + 0)}{(x^2 + 1)^2};$$ $$y'(x) = \frac{x^2 + 1 — 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 — x^2}{(x^2 + 1)^2};$$

а) $y = \frac{x^3}{2x + 4}$

Шаг 1: Обозначим

• $u = x^3$
• $v = 2x + 4$

Шаг 2: Производные

• $u’ = 3x^2$
• $v’ = 2$

Шаг 3: Применим правило

$$y'(x) = \frac{3x^2(2x + 4) — x^3 \cdot 2}{(2x + 4)^2}$$

Шаг 4: Раскрываем скобки

• $3x^2(2x + 4) = 6x^3 + 12x^2$
• $x^3 \cdot 2 = 2x^3$

$$y'(x) = \frac{6x^3 + 12x^2 — 2x^3}{(2x + 4)^2} = \frac{4x^3 + 12x^2}{(2x + 4)^2}$$

Шаг 5: Упростим знаменатель

$$2x + 4 = 2(x + 2) \Rightarrow (2x + 4)^2 = 4(x + 2)^2$$ $$y'(x) = \frac{4x^3 + 12x^2}{4(x + 2)^2} = \frac{x^2(4x + 12)}{4(x + 2)^2} = \frac{x^2(x + 3)}{(x + 2)^2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{x^2(x + 3)}{(x + 2)^2}}$

б) $y = \frac{x^2}{x^2 — 1}$

Шаг 1: Обозначим

• $u = x^2$
• $v = x^2 — 1$

Шаг 2: Производные

• $u’ = 2x$
• $v’ = 2x$

Шаг 3: Применим правило

$$y'(x) = \frac{2x(x^2 — 1) — x^2 \cdot 2x}{(x^2 — 1)^2}$$

Шаг 4: Раскроем скобки

• $2x(x^2 — 1) = 2x^3 — 2x$
• $2x \cdot x^2 = 2x^3$

$$y'(x) = \frac{2x^3 — 2x — 2x^3}{(x^2 — 1)^2} = \frac{-2x}{(x^2 — 1)^2}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{2x}{(x^2 — 1)^2}}$

в) $y = \frac{x^2}{3 — 4x}$

Шаг 1: Обозначим

• $u = x^2$
• $v = 3 — 4x$

Шаг 2: Производные

• $u’ = 2x$
• $v’ = -4$

Шаг 3: Применим правило

$$y'(x) = \frac{2x(3 — 4x) — x^2 \cdot (-4)}{(3 — 4x)^2}$$

Шаг 4: Раскрываем скобки

• $2x(3 — 4x) = 6x — 8x^2$
• $-4x^2 = -(-4x^2) = +4x^2$

$$y'(x) = \frac{6x — 8x^2 + 4x^2}{(3 — 4x)^2} = \frac{6x — 4x^2}{(3 — 4x)^2}$$ $$= \frac{2x(3 — 2x)}{(3 — 4x)^2}$$

Ответ: $\boxed{\frac{2x(3 — 2x)}{(3 — 4x)^2}}$

г) $y = \frac{x}{x^2 + 1}$

Шаг 1: Обозначим

• $u = x$
• $v = x^2 + 1$

Шаг 2: Производные

• $u’ = 1$
• $v’ = 2x$

Шаг 3: Применим правило

$$y'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) — x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$$

Шаг 4: Раскроем

$$x^2 + 1 — 2x^2 = 1 — x^2$$ $$y'(x) = \frac{1 — x^2}{(x^2 + 1)^2}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}}}$