ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \sin x$;

б) $y = \sqrt{x}$;

в) $y = \cos x$;

г) $y = 10^{10}$

Найти производную функции:

а) $y = \sin x$;
$y'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;
Ответ: $\cos x$.

б) $y = \sqrt{x}$;
$y'(x) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;
Ответ: $\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

в) $y = \cos x$;
$y'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$;
Ответ: $-\sin x$.

г) $y = 10^{10}$;
$y'(x) = (10^{10})’ = 0$;
Ответ: $0$.

а) $y = \sin x$

Шаг 1: Используем табличное правило производной

$$\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$$

Обоснование:

Это одна из основных производных в таблице производных. Производная синуса равна косинусу:

$$(\sin x)’ = \cos x$$

Ответ: $\boxed{\cos x}$

б) $y = \sqrt{x}$

Шаг 1: Перепишем корень в виде степени

$$\sqrt{x} = x^{1/2}$$

Шаг 2: Применим правило производной степенной функции

$$\frac{d}{dx} (x^n) = n x^{n — 1}$$

Где $n = \frac{1}{2}$, тогда:

$$\frac{d}{dx} (x^{1/2}) = \frac{1}{2} x^{-1/2}$$

Шаг 3: Запишем ответ в виде корня

$$x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}$

в) $y = \cos x$

Шаг 1: Используем табличное правило

$$\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x$$

Обоснование:

Это также базовая тригонометрическая производная. Производная косинуса равна минус синус:

$$(\cos x)’ = -\sin x$$

Ответ: $\boxed{-\sin x}$

г) $y = 10^{10}$

Шаг 1: Заметим, что это просто число

$$y = 10^{10} \quad \text{— это константа (число), не зависящее от } x$$

Шаг 2: Производная константы

$$\frac{d}{dx} (c) = 0, \quad \text{где } c \text{ — любое постоянное число}$$

Следовательно:

$$(10^{10})’ = 0$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 0}}$