ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.20 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти производную функции:

а) $y = x \cdot \tg x$;
$y'(x) = (x)’ \cdot \tg x + x \cdot (\tg x)’$;
$y'(x) = 1 \cdot \tg x + x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \tg x + \frac{x}{\cos^2 x}$;

б) $y = \sin x \cdot \tg x$;
$y'(x) = (\sin x)’ \cdot \tg x + \sin x \cdot (\tg x)’$;
$y'(x) = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \sin x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \sin x + \frac{\tg x}{\cos x}$;

в) $y = x \cdot \ctg x$;
$y'(x) = (x)’ \cdot \ctg x + x \cdot (\ctg x)’$;
$y'(x) = 1 \cdot \ctg x + x \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = \ctg x — \frac{x}{\sin^2 x}$;

г) $y = \cos x \cdot \ctg x$;
$y'(x) = (\cos x)’ \cdot \ctg x + \cos x \cdot (\ctg x)’$;
$y'(x) = -\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} + \cos x \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = -\cos x — \frac{\ctg x}{\sin x}$.

а) $y = x \cdot \tg x$

Шаг 1: Применим правило производной произведения:

$$y'(x) = (x)’ \cdot \tg x + x \cdot (\tg x)’$$

Шаг 2: Найдём производные:

• $(x)’ = 1$
• $(\tg x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$

Шаг 3: Подставим:

$$y'(x) = 1 \cdot \tg x + x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \tg x + \frac{x}{\cos^2 x}$$

Ответ: $\boxed{\tg x + \frac{x}{\cos^2 x}}$

б) $y = \sin x \cdot \tg x$

Шаг 1: Применим правило производной произведения:

$$y'(x) = (\sin x)’ \cdot \tg x + \sin x \cdot (\tg x)’$$

Шаг 2: Найдём производные:

• $(\sin x)’ = \cos x$
• $(\tg x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}$

Шаг 3: Подставим:

$$y'(x) = \cos x \cdot \tg x + \sin x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}$$

Шаг 4: Упростим

• $\tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$, значит:

$$\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x$$ $$y'(x) = \sin x + \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \sin x + \frac{\tg x}{\cos x}$$

Ответ: $\boxed{\sin x + \frac{\tg x}{\cos x}}$

в) $y = x \cdot \ctg x$

Шаг 1: Применим правило производной произведения:

$$y'(x) = (x)’ \cdot \ctg x + x \cdot (\ctg x)’$$

Шаг 2: Найдём производные:

• $(x)’ = 1$
• $(\ctg x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Шаг 3: Подставим:

$$y'(x) = 1 \cdot \ctg x + x \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = \ctg x — \frac{x}{\sin^2 x}$$

Ответ: $\boxed{\ctg x — \frac{x}{\sin^2 x}}$

г) $y = \cos x \cdot \ctg x$

Шаг 1: Применим правило производной произведения:

$$y'(x) = (\cos x)’ \cdot \ctg x + \cos x \cdot (\ctg x)’$$

Шаг 2: Найдём производные:

• $(\cos x)’ = -\sin x$
• $(\ctg x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Шаг 3: Подставим:

$$y'(x) = -\sin x \cdot \ctg x + \cos x \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right)$$ $$= -\sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} — \frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\cos x — \frac{\ctg x}{\sin x}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\cos x-\frac{\mathrm{ctg}x}{\sin x}}}$