ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.21 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите значение производной функции в точке $x_0$:

а) $y = x^2 + 2x — 1,\; x_0 = 0$;

б) $y = x^3 — 3x + 2,\; x_0 = -1$;

в) $y = x^2 + 3x — 4,\; x_0 = 1$;

г) $y = x^3 — 9x^2 + 7,\; x_0 = 2$

Найти значение производной функции в точке $x_0$:

а) $y = x^2 + 2x — 1,\; x_0 = 0$;
$y'(x) = (x^2)’ + (2x — 1)’ = 2x + 2$;
$y'(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 0 + 2 = 2$;
Ответ: 2.

б) $y = x^3 — 3x + 2,\; x_0 = -1$;
$y'(x) = (x^3)’ + (-3x + 2)’ = 3x^2 — 3$;
$y'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 — 3 = 3 — 3 = 0$;
Ответ: 0.

в) $y = x^2 + 3x — 4,\; x_0 = 1$;
$y'(x) = (x^2)’ + (3x — 4)’ = 2x + 3$;
$y'(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$;
Ответ: 5.

г) $y = x^3 — 9x^2 + 7,\; x_0 = 2$;
$y'(x) = (x^3)’ — 9(x^2)’ + (7)’ = 3x^2 — 9 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 18x$;
$y'(2) = 3 \cdot 2^2 — 18 \cdot 2 = 3 \cdot 4 — 36 = 12 — 36 = -24$;
Ответ: −24.

а) $y = x^2 + 2x — 1,\quad x_0 = 0$

Шаг 1: Найдём производную каждого слагаемого

• $(x^2)’ = 2x$
• $(2x)’ = 2$
• $(-1)’ = 0$

Шаг 2: Сложим

$$y'(x) = 2x + 2$$

Шаг 3: Подставим $x = 0$

$$y'(0) = 2 \cdot 0 + 2 = 2$$

Ответ: $\boxed{2}$

б) $y = x^3 — 3x + 2,\quad x_0 = -1$

Шаг 1: Найдём производную каждого слагаемого

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(-3x)’ = -3$
• $(2)’ = 0$

Шаг 2: Сложим

$$y'(x) = 3x^2 — 3$$

Шаг 3: Подставим $x = -1$

$$y'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 — 3 = 3 \cdot 1 — 3 = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

в) $y = x^2 + 3x — 4,\quad x_0 = 1$

Шаг 1: Найдём производную каждого слагаемого

• $(x^2)’ = 2x$
• $(3x)’ = 3$
• $(-4)’ = 0$

Шаг 2: Сложим

$$y'(x) = 2x + 3$$

Шаг 3: Подставим $x = 1$

$$y'(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$$

Ответ: $\boxed{5}$

г) $y = x^3 — 9x^2 + 7,\quad x_0 = 2$

Шаг 1: Найдём производную каждого слагаемого

• $(x^3)’ = 3x^2$
• $(-9x^2)’ = -18x$
• $(7)’ = 0$

Шаг 2: Сложим

$$y'(x) = 3x^2 — 18x$$

Шаг 3: Подставим $x = 2$

$$y'(2) = 3 \cdot 2^2 — 18 \cdot 2 = 3 \cdot 4 — 36 = 12 — 36 = -24$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -24}}$