ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.22 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение производной функции в точке $x_0$:

а) $y = \frac{2}{x} — 1, \; x_0 = 4$;

$y'(x) = 2\left(\frac{1}{x}\right)’ — (1)’ = 2 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) — 0 = -\frac{2}{x^2}$;

$y'(4) = -\frac{2}{4^2} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$;

Ответ: $-\frac{1}{8}$.

б) $y = \sqrt{x} + 4, \; x_0 = 9$;

$y'(x) = (\sqrt{x})’ + (4)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

$y'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$;

Ответ: $\frac{1}{6}$.

в) $y = \frac{8}{x} — 6, \; x_0 = 1$;

$y'(x) = 8\left(\frac{1}{x}\right)’ — (6)’ = 8 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) — 0 = -\frac{8}{x^2}$;

$y'(1) = -\frac{8}{1^2} = -8$;

Ответ: $-8$.

г) $y = \sqrt{x} + 5, \; x_0 = 4$;

$y'(x) = (\sqrt{x})’ + (5)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

$y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$;

Ответ: $\frac{1}{4}$.

а) $y = \frac{2}{x} — 1, \quad x_0 = 4$

Шаг 1: Представим дробь через степень

$$y = 2x^{-1} — 1$$

Шаг 2: Найдём производную

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(2x^{-1}) — \frac{d}{dx}(1) = 2 \cdot (-1)x^{-2} + 0 = -\frac{2}{x^2}$$

Шаг 3: Подставим $x = 4$

$$y'(4) = -\frac{2}{4^2} = -\frac{2}{16} = -\frac{1}{8}$$

Ответ: $\boxed{-\dfrac{1}{8}}$

б) $y = \sqrt{x} + 4, \quad x_0 = 9$

Шаг 1: Перепишем корень как степень

$$y = x^{1/2} + 4$$

Шаг 2: Найдём производную

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) + \frac{d}{dx}(4) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0$$

Шаг 3: Подставим $x = 9$

$$y'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9}} = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{1}{6}}$

в) $y = \frac{8}{x} — 6, \quad x_0 = 1$

Шаг 1: Представим дробь через степень

$$y = 8x^{-1} — 6$$

Шаг 2: Найдём производную

$$y'(x) = 8 \cdot (-1)x^{-2} + 0 = -\frac{8}{x^2}$$

Шаг 3: Подставим $x = 1$

$$y'(1) = -\frac{8}{1^2} = -8$$

Ответ: $\boxed{-8}$

г) $y = \sqrt{x} + 5, \quad x_0 = 4$

Шаг 1: Перепишем корень как степень

$$y = x^{1/2} + 5$$

Шаг 2: Найдём производную

$$y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + 0$$

Шаг 3: Подставим $x = 4$

$$y'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{1}{4}}}$