ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.23 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите скорость изменения функции y = g(x) в точке $x_0$:

а) $g(x) = x^3 + 2x,\; x_0 = 2$;

б) $g(x) = (\sqrt{x} + 1)\sqrt{x},\; x_0 = 1$;

в) $g(x) = x^2 + 4\sqrt{x} — 4x,\; x_0 = 4$;

г) $g(x) = \frac{1}{x}\left(\frac{4}{x} — 2\right),\; x_0 = -0{,}5$

Вычислить скорость изменения функции $y = g(x)$ в точке $x_0$:

а) $g(x) = x^3 + 2x,\; x_0 = 2$;

$g'(x) = (x^3)’ + (2x)’ = 3x^2 + 2$;

$g'(2) = 3 \cdot 2^2 + 2 = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$;

Ответ: 14.

б) $g(x) = (\sqrt{x} + 1)\sqrt{x},\; x_0 = 1$;

$g(x) = (\sqrt{x} + 1) \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 + \sqrt{x} = x + \sqrt{x}$;

$g'(x) = (x)’ + (\sqrt{x})’ = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

$g'(1) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1}} = 1 + \frac{1}{2} = 1 + 0,5 = 1,5$;

Ответ: 1,5.

в) $g(x) = x^2 + 4\sqrt{x} — 4x,\; x_0 = 4$;

$g'(x) = (x^2)’ + 4(\sqrt{x})’ — (4x)’ = 2x + 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — 4 = 2x + \frac{2}{\sqrt{x}} — 4$;

$g'(4) = 2 \cdot 4 + \frac{2}{\sqrt{4}} — 4 = 8 + \frac{2}{2} — 4 = 4 + 1 = 5$;

Ответ: 5.

г) $g(x) = \frac{1}{x}\left(\frac{4}{x} — 2\right),\; x_0 = -0{,}5$;

$g(x) = \frac{1}{x} \cdot \left(\frac{4}{x} — 2\right) = \frac{4}{x^2} — \frac{2}{x} = 4x^{-2} — 2x^{-1}$;

$g'(x) = 4(x^{-2})’ — 2(x^{-1})’ = 4 \cdot (-2x^{-3}) — 2 \cdot (-x^{-2}) = 2x^{-2} — 8x^{-3}$;

$g'(-0{,}5) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} — 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2 \cdot 4 + 8 \cdot 8 = 8 + 64 = 72$;

Ответ: 72.

а) $g(x) = x^3 + 2x, \quad x_0 = 2$

Шаг 1: Найдём производную каждого слагаемого

• Производная $(x^3)’ = 3x^2$
• Производная $(2x)’ = 2$

Шаг 2: Сложим производные

$$g'(x) = 3x^2 + 2$$

Шаг 3: Подставим $x = 2$

$$g'(2) = 3 \cdot 2^2 + 2 = 3 \cdot 4 + 2 = 12 + 2 = 14$$

Ответ: $\boxed{14}$

б) $g(x) = (\sqrt{x} + 1)\sqrt{x}, \quad x_0 = 1$

Шаг 1: Раскроем скобки

$$g(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 1 \cdot \sqrt{x} = x + \sqrt{x}$$

Шаг 2: Найдём производную

• Производная $x = 1$
• Производная $\sqrt{x} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

$$g'(x) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 3: Подставим $x = 1$

$$g'(1) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{1}} = 1 + \frac{1}{2} = 1 + 0.5 = 1.5$$

Ответ: $\boxed{1{,}5}$

в) $g(x) = x^2 + 4\sqrt{x} — 4x, \quad x_0 = 4$

Шаг 1: Найдём производные по отдельности

• $(x^2)’ = 2x$
• $(4\sqrt{x})’ = 4 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = \dfrac{2}{\sqrt{x}}$
• $(-4x)’ = -4$

Шаг 2: Соберём всё вместе

$$g'(x) = 2x + \frac{2}{\sqrt{x}} — 4$$

Шаг 3: Подставим $x = 4$

• $2x = 8$
• $\sqrt{4} = 2 \Rightarrow \frac{2}{2} = 1$
• $-4$

$$g'(4) = 8 + 1 — 4 = 5$$

Ответ: $\boxed{5}$

г) $g(x) = \dfrac{1}{x}\left(\dfrac{4}{x} — 2\right), \quad x_0 = -0{,}5$

Шаг 1: Упростим выражение

$$g(x) = \frac{1}{x} \cdot \left( \frac{4}{x} — 2 \right) = \frac{4}{x^2} — \frac{2}{x}$$

Шаг 2: Перепишем в виде степеней

$$g(x) = 4x^{-2} — 2x^{-1}$$

Шаг 3: Найдём производную

• $(x^{-2})’ = -2x^{-3} \Rightarrow 4 \cdot (-2x^{-3}) = -8x^{-3}$
• $(x^{-1})’ = -x^{-2} \Rightarrow -2 \cdot (-x^{-2}) = 2x^{-2}$

$$g'(x) = 2x^{-2} — 8x^{-3}$$

Шаг 4: Подставим $x = -0{,}5$ (или $x = -\frac{1}{2}$)

$$x^{-2} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4$$ $$x^{-3} = \left(-\frac{1}{2}\right)^{-3} = \left(-\frac{1}{8}\right)^{-1} = -8$$

Теперь:

$$g'(-0{,}5) = 2 \cdot 4 — 8 \cdot (-8) = 8 + 64 = 72$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 72}}$