ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.24 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите скорость изменения данной функции в данной точке $x_0$:

а) $y = 2 \sin x — 4x, \; x_0 = \frac{\pi}{3}$;

б) $y = \frac{\operatorname{tg} x}{3}, \; x_0 = -\frac{\pi}{3}$;

в) $y = -3 \cos x + x, \; x_0 = -\frac{\pi}{6}$;

г) $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{5}, \; x_0 = \frac{\pi}{3}$

Вычислить скорость изменения функции в данной точке $x_0$:

а) $y = 2 \sin x — 4x, \; x_0 = \frac{\pi}{3}$;
$y'(x) = 2(\sin x)’ — (4x)’ = 2 \cos x — 4$;
$y’\left( \frac{\pi}{3} \right) = 2 \cos \frac{\pi}{3} — 4 = 2 \cdot \frac{1}{2} — 4 = 1 — 4 = -3$;
Ответ: $-3$.

б) $y = \frac{\operatorname{tg} x}{3}, \; x_0 = -\frac{\pi}{3}$;
$y'(x) = \frac{1}{3}(\operatorname{tg} x)’ = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{3 \cos^2 x}$;
$y’\left( -\frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{3 \cos^2 \left( -\frac{\pi}{3} \right)} = \frac{1}{3 \cos^2 \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2} = \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{4}{3}$;
Ответ: $\frac{4}{3}$.

в) $y = -3 \cos x + x, \; x_0 = -\frac{\pi}{6}$;
$y'(x) = -3(\cos x)’ + (x)’ = -3 \cdot (-\sin x) + 1 = 1 + 3 \sin x$;
$y’\left( -\frac{\pi}{6} \right) = 1 + 3 \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = 1 — 3 \sin \frac{\pi}{6} = 1 — 3 \cdot \frac{1}{2} = 1 — 1{,}5 = -0{,}5$;
Ответ: $-0{,}5$.

г) $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{5}, \; x_0 = \frac{\pi}{3}$;
$y'(x) = \frac{1}{5}(\operatorname{ctg} x)’ = \frac{1}{5} \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = -\frac{1}{5 \sin^2 x}$;
$y’\left( \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{1}{5 \sin^2 \frac{\pi}{3}} = -\frac{1}{5 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = -\frac{1}{5 \cdot \frac{3}{4}} = -\frac{4}{5 \cdot 3} = -\frac{4}{15}$;
Ответ: $-\frac{4}{15}$.

а) $y = 2\sin x — 4x, \quad x_0 = \frac{\pi}{3}$

Находим производную:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin x — 4x) = 2\cos x — 4$$

Подставляем $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$$y’\left( \frac{\pi}{3} \right) = 2\cos\left( \frac{\pi}{3} \right) — 4 = 2 \cdot \frac{1}{2} — 4 = 1 — 4 = -3$$

Ответ: $\boxed{-3}$

б) $y = \frac{\tan x}{3}, \quad x_0 = -\frac{\pi}{3}$

Производная:

$$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{3\cos^2 x}$$

Подставляем $x_0 = -\frac{\pi}{3}$:

$$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos^2 = \frac{1}{4}$$ $$y’\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{3 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$

Ответ: $\boxed{\frac{4}{3}}$

в) $y = -3\cos x + x, \quad x_0 = -\frac{\pi}{6}$

Производная:

$$y'(x) = \frac{d}{dx}(-3\cos x + x) = 3\sin x + 1$$

Подставляем $x_0 = -\frac{\pi}{6}$:

$$\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$$ $$y’\left(-\frac{\pi}{6}\right) = 3 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1 = -\frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2} = -0.5$$

Ответ: $\boxed{-0.5}$

г) $y = \frac{\cot x}{5}, \quad x_0 = \frac{\pi}{3}$

Производная:

$$y'(x) = \frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{1}{5\sin^2 x}$$

Подставляем $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$$\sin\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin^2 = \frac{3}{4}$$ $$y’\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{5 \cdot \frac{3}{4}} = -\frac{4}{15}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\frac{4}{15}}}$