ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.25 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

а) $h(x) = x^6 — 4x, \; x_0 = 1$;
$h'(x) = (x^6)’ — (4x)’ = 6x^5 — 4$;
$tg\, a = h'(1) = 6 \cdot 1^5 — 4 = 6 — 4 = 2$;
Ответ: 2.

б) $h(x) = \sqrt{x} — 3, \; x_0 = \frac{1}{4}$;
$h'(x) = (\sqrt{x})’ — (3)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} — 0 = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;
$tg\, a = h’\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} = 1 : \left(2 \cdot \frac{1}{2}\right) = 1 : 1 = 1$;
Ответ: 1.

в) $h(x) = -x^5 — 2x^2 + 2, \; x_0 = -1$;
$h'(x) = -(x^5)’ — 2(x^2)’ + (2)’ = -5x^4 — 2 \cdot 2x + 0 = -5x^4 — 4x$;
$tg\, a = h'(-1) = -5 \cdot (-1)^4 — 4 \cdot (-1) = -5 + 4 = -1$;
Ответ: -1.

г) $h(x) = \frac{25}{x} + 2, \; x_0 = \frac{5}{4}$;
$h'(x) = 25\left(\frac{1}{x}\right)’ + (2)’ = 25 \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) + 0 = -\frac{25}{x^2}$;
$tg\, a = h’\left(\frac{5}{4}\right) = -25 : \left(\frac{5}{4}\right)^2 = -25 : \frac{25}{16} = -25 \cdot \frac{16}{25} = -16$;
Ответ: -16.

Нужно найти тангенс угла $\tan\alpha$ между касательной к графику $y=h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $x$.
По геометрическому смыслу производной: наклон касательной равен $k = h'(x_0)$, а потому

$$\tan\alpha = k = h'(x_0).$$

Значит, задача сводится к нахождению производной и её значения в точке.

а) $h(x)=x^6-4x,\quad x_0=1$

Шаг 1. Производная.

$$h'(x)=(x^6)’- (4x)’=6x^5-4.$$

Шаг 2. Значение в точке.

$$h'(1)=6\cdot 1^5-4=6-4=2.$$

Вывод.

$$\tan\alpha=h'(1)=\boxed{2}.$$

б) $h(x)=\sqrt{x}-3,\quad x_0=\tfrac14$

Область определения: $x>0$ — точка $x_0=\tfrac14$ допустима.

Шаг 1. Производная.

$$h'(x)=(\sqrt{x})’-(3)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}-0=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

Шаг 2. Значение в точке.

$$\sqrt{\tfrac14}=\tfrac12,\qquad h’\!\left(\tfrac14\right)=\frac{1}{2\cdot \tfrac12}=\frac{1}{1}=1.$$

Вывод.

$$\tan\alpha=h’\!\left(\tfrac14\right)=\boxed{1}.$$

в) $h(x)=-x^5-2x^2+2,\quad x_0=-1$

Шаг 1. Производная.

$$h'(x)=-(x^5)’-2(x^2)’ + (2)’=-5x^4-4x+0=-5x^4-4x.$$

Шаг 2. Значение в точке.

$$h'(-1)=-5\cdot(-1)^4-4\cdot(-1)=-5+4=-1.$$

Вывод.

$$\tan\alpha=h'(-1)=\boxed{-1}.$$

г) $h(x)=\dfrac{25}{x}+2,\quad x_0=\tfrac54$

Область определения: $x\neq 0$ — точка $x_0=\tfrac54$ допустима.

Шаг 1. Производная.

$$h'(x)=25\left(\frac{1}{x}\right)’+(2)’=25\!\left(-\frac{1}{x^2}\right)+0=-\frac{25}{x^2}.$$

Шаг 2. Значение в точке.

$$\left(\tfrac54\right)^2=\frac{25}{16},\qquad h’\!\left(\tfrac54\right)=-\frac{25}{\,25/16\,}=-25\cdot\frac{16}{25}=-16.$$

Вывод.