ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.26 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Для заданной функции $f(x)$ найти значение ее производной в указанной точке:

а) $f(x) = x^2 \cdot \sin x$;

$f'(x) = (x^2)’ \cdot \sin x + x^2 \cdot (\sin x)’ = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$;

$f’\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \sin \frac{\pi}{2} + \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 \cdot \cos \frac{\pi}{2} = \pi \cdot 1 + \frac{\pi^2}{4} \cdot 0 = \pi$;

Ответ: $\pi$.

б) $f(x) = \sqrt{3} \sin x + \frac{x^2}{\pi} + x \cdot \sin \frac{\pi}{6}$;

$f'(x) = \sqrt{3} (\sin x)’ + \frac{1}{\pi} (x^2)’ + \sin \frac{\pi}{6} \cdot (x)’ = \sqrt{3} \cos x + \frac{1}{\pi} \cdot 2x + \frac{1}{2} \cdot 1$;

$f’\left( \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} \cos \frac{\pi}{6} + \frac{1}{\pi} \cdot 2 \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{9 + 2 + 3}{6}$;

$f’\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} = 2 \frac{1}{3}$;

Ответ: $2 \frac{1}{3}$.

в) $f(x) = x(1 + \cos x)$;

$f'(x) = (x)’ \cdot (1 + \cos x) + x \cdot (1 + \cos x)’$;

$f'(x) = 1 \cdot (1 + \cos x) + x \cdot (0 — \sin x) = 1 + \cos x — x \cdot \sin x$;

$f'(\pi) = 1 + \cos \pi — \pi \cdot \sin \pi = 1 — 1 — \pi \cdot 0 = 0$;

Ответ: $0$.

г) $f(x) = \sqrt{3} \cos x — x \cos \frac{\pi}{6} + \frac{x^2}{\pi}$;

$f'(x) = \sqrt{3} (\cos x)’ — \cos \frac{\pi}{6} \cdot (x)’ + \frac{1}{\pi} (x^2)’ = \sqrt{3} (-\sin x) — \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 + \frac{1}{\pi} \cdot 2x$;

$f’\left( \frac{\pi}{3} \right) = -\sqrt{3} \sin \frac{\pi}{3} — \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2}{3} — \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 — 9 — 3\sqrt{3}}{6}$;

$f’\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{-5 — 3\sqrt{3}}{6} = -\frac{5 + 3\sqrt{3}}{6}$;

Ответ: $-\frac{5 + 3\sqrt{3}}{6}$.

Используем стандартные правила:

• производная суммы/разности: $(u\pm v)’=u’\pm v’$;
• производная произведения: $(uv)’=u’v+uv’$;
• табличные: $(\sin x)’=\cos x$, $(\cos x)’=-\sin x$, $(x^n)’=nx^{n-1}$, $(x)’=1$, $(\sqrt{x})’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ (при $x>0$).

а) $f(x)=x^2\sin x$, найти $f’\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$

Шаг 1. Дифференцируем (правило произведения)

$$f'(x)=(x^2)’\sin x + x^2(\sin x)’=2x\sin x + x^2\cos x.$$

Шаг 2. Подставляем $x=\dfrac{\pi}{2}$

$$\sin\frac{\pi}{2}=1,\qquad \cos\frac{\pi}{2}=0.$$ $$f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=2\cdot\frac{\pi}{2}\cdot 1+\left(\frac{\pi}{2}\right)^2\cdot 0=\pi.$$

Ответ: $\boxed{\pi}$.

б) $f(x)=\sqrt{3}\,\sin x+\dfrac{x^2}{\pi}+x\sin\frac{\pi}{6}$, найти $f’\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$

Шаг 1. Дифференцируем по частям

• $\big(\sqrt{3}\,\sin x\big)’=\sqrt{3}\,\cos x$ (константа $\sqrt{3}$ выносится).
• $\left(\dfrac{x^2}{\pi}\right)’=\dfrac{1}{\pi}\cdot 2x=\dfrac{2x}{\pi}$.
• $\big(x\sin\tfrac{\pi}{6}\big)’=\sin\tfrac{\pi}{6}\cdot (x)’=\dfrac{1}{2}\cdot 1=\dfrac{1}{2}$ (поскольку $\sin\tfrac{\pi}{6}$ — константа).

Итак,

$$f'(x)=\sqrt{3}\,\cos x+\frac{2x}{\pi}+\frac{1}{2}.$$

Шаг 2. Подставляем $x=\dfrac{\pi}{6}$

$$\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \frac{2x}{\pi}\Big|_{x=\pi/6}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{1}{3}.$$ $$f’\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} =\frac{3}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2} =\frac{9+2+3}{6} =\frac{14}{6} =\frac{7}{3} =2\frac{1}{3}.$$

Ответ: $\boxed{\dfrac{7}{3}}$ (или $2\dfrac{1}{3}$).

в) $f(x)=x(1+\cos x)$, найти $f'(\pi)$

Шаг 1. Дифференцируем (произведение)

$$f'(x)=(x)’\,(1+\cos x)+x\,(1+\cos x)’=1\cdot(1+\cos x)+x\cdot(0-\sin x).$$ $$f'(x)=1+\cos x — x\sin x.$$

Шаг 2. Подставляем $x=\pi$

$$\cos\pi=-1,\qquad \sin\pi=0.$$ $$f'(\pi)=1+(-1)-\pi\cdot 0=0.$$

Ответ: $\boxed{0}$.

г) $f(x)=\sqrt{3}\,\cos x — x\cos\frac{\pi}{6} + \dfrac{x^2}{\pi}$, найти $f’\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$

Шаг 1. Дифференцируем по частям

• $\big(\sqrt{3}\,\cos x\big)’=\sqrt{3}\,(-\sin x)=-\sqrt{3}\,\sin x$.
• $\big(-x\cos\tfrac{\pi}{6}\big)’=-\cos\tfrac{\pi}{6}\cdot(x)’=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
• $\left(\dfrac{x^2}{\pi}\right)’=\dfrac{2x}{\pi}$.

Итак,

$$f'(x)=-\sqrt{3}\,\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2x}{\pi}.$$

Шаг 2. Подставляем $x=\dfrac{\pi}{3}$

$$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \frac{2x}{\pi}\Big|_{x=\pi/3}=\frac{2}{3}.$$ $$f’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{3} =-\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2}{3}.$$

Приводим к общему знаменателю $6$:

$$-\frac{3}{2}=-\frac{9}{6},\quad -\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{6},\quad \frac{2}{3}=\frac{4}{6}.$$ $$f’\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{-9-3\sqrt{3}+4}{6} =\frac{-5-3\sqrt{3}}{6} =-\frac{5+3\sqrt{3}}{6}.$$

Ответ: $\boxed{-\dfrac{5+3\sqrt{3}}{6}}$.