ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.27 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

a) При каких значениях x выполняется равенство $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2$, если известно, что $f(x)=2\sqrt{x}-5x+3$?

б) При каких значениях x выполняется равенство $f'(x) = 1$, если известно, что $f(x)=3x-\sqrt{x}+13$?

Найти значение $x$, при котором значение производной данной функции принимает заданное значение:

а) $f(x) = 2\sqrt{x} — 5x + 3$, $f'(x) = 2$;

Производная функции:

$$f'(x) = 2(\sqrt{x})’ + (-5x + 3)’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — 5 = \frac{1 — 5\sqrt{x}}{\sqrt{x}};$$

Значение переменной:

$$\frac{1 — 5\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 2;$$ $$1 — 5\sqrt{x} = 2\sqrt{x};$$ $$7\sqrt{x} = 1;$$ $$\sqrt{x} = \frac{1}{7};$$ $$x = \left( \frac{1}{7} \right)^2 = \frac{1}{49};$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{49}}$.

б) $f(x) = 3x — \sqrt{x} + 13$, $f'(x) = 1$;

Производная функции:

$$f'(x) = (3x + 13)’ — (\sqrt{x})’ = 3 — \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{6\sqrt{x} — 1}{2\sqrt{x}};$$

Значение переменной:

$$\frac{6\sqrt{x} — 1}{2\sqrt{x}} = 1;$$ $$6\sqrt{x} — 1 = 2\sqrt{x};$$ $$4\sqrt{x} = 1;$$ $$\sqrt{x} = \frac{1}{4};$$ $$x = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16};$$

Ответ: $\boxed{\frac{1}{16}}$.

а)

Дана функция:

$$f(x) = 2\sqrt{x} — 5x + 3$$

Также известно:

$$f'(x) = 2$$

Найти такое значение $x$, при котором производная функции равна 2.

Шаг 1: Найдём производную функции

$$f(x) = 2\sqrt{x} — 5x + 3$$

Разложим по слагаемым:

• $(2\sqrt{x})’ = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$
• $(-5x)’ = -5$
• $(3)’ = 0$

Итак:

$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} — 5$$

Шаг 2: Приравняем к 2 и решим уравнение

$$f'(x) = 2 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x}} — 5 = 2$$ $$\frac{1}{\sqrt{x}} = 2 + 5 = 7$$ $$\sqrt{x} = \frac{1}{7}$$ $$x = \left( \frac{1}{7} \right)^2 = \frac{1}{49}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{49}}$$

б)

Дана функция:

$$f(x) = 3x — \sqrt{x} + 13$$

Также известно:

$$f'(x) = 1$$

Найти значение $x$, при котором производная функции равна 1.

Шаг 1: Найдём производную функции

Разложим по слагаемым:

• $(3x)’ = 3$
• $(-\sqrt{x})’ = -\frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $(13)’ = 0$

Итак:

$$f'(x) = 3 — \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 2: Приравняем к 1 и решим уравнение

$$f'(x) = 1 \Rightarrow 3 — \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1$$ $$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 3 — 1 = 2$$ $$2\sqrt{x} = \frac{1}{2}$$ $$\sqrt{x} = \frac{1}{4}$$ $$x = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{16}}}$$