ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.28 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти производную функции:

а) $y = (4x — 9)^7$;
$y'(x) = 4 \cdot 7(4x — 9)^6 = 28(4x — 9)^6$;

б) $y = \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12}$;
$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot 12 \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11} = 4 \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{11}$;

в) $y = (5x + 1)^9$;
$y'(x) = 5 \cdot 9(5x + 1)^8 = 45(5x + 1)^8$;

г) $y = \left(\frac{x}{4} — 3\right)^{14}$;
$y'(x) = \frac{1}{4} \cdot 14 \left(\frac{x}{4} — 3\right)^{13} = \frac{7}{2} \left(\frac{x}{4} — 3\right)^{13}$

Мы находим производные сложных функций вида $y = [u(x)]^n$, где применяется правило дифференцирования сложной функции:

Если $y = [u(x)]^n$, то
$y'(x) = n \cdot [u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)$

а) $y = (4x — 9)^7$

Это сложная функция.
Обозначим:

• Внутренняя функция: $u(x) = 4x — 9$
• Наружная функция: $y = u^7$

Шаг 1. Найдём производную внутренней функции:
$u'(x) = (4x — 9)’ = 4$

Шаг 2. Применим правило:

$$y'(x) = 7 \cdot (4x — 9)^{6} \cdot 4 = 28(4x — 9)^6$$

Ответ: $y'(x) = 28(4x — 9)^6$

б) $y = \left(\frac{x}{3} + 2\right)^{12}$

Опять же, функция сложная.
Обозначим:

• $u(x) = \frac{x}{3} + 2$,
• $y = u^{12}$

Шаг 1. Производная внутренней функции:
$u'(x) = \left( \frac{x}{3} + 2 \right)’ = \frac{1}{3}$

Шаг 2. Производная сложной функции:

$$y'(x) = 12 \cdot \left( \frac{x}{3} + 2 \right)^{11} \cdot \frac{1}{3} = 4\left( \frac{x}{3} + 2 \right)^{11}$$

Ответ: $y'(x) = 4\left( \frac{x}{3} + 2 \right)^{11}$

в) $y = (5x + 1)^9$

Обозначим:

• $u(x) = 5x + 1$
• $y = u^9$

Шаг 1. $u'(x) = 5$

Шаг 2.

$$y'(x) = 9 \cdot (5x + 1)^8 \cdot 5 = 45(5x + 1)^8$$

Ответ: $y'(x) = 45(5x + 1)^8$

г) $y = \left(\frac{x}{4} — 3\right)^{14}$

Обозначим:

• $u(x) = \frac{x}{4} — 3$,
• $y = u^{14}$

Шаг 1. $u'(x) = \left( \frac{x}{4} — 3 \right)’ = \frac{1}{4}$

Шаг 2.

$$y'(x) = 14 \cdot \left( \frac{x}{4} — 3 \right)^{13} \cdot \frac{1}{4} = \frac{14}{4} \left( \frac{x}{4} — 3 \right)^{13} = \frac{7}{2} \left( \frac{x}{4} — 3 \right)^{13}$$

Ответ: $y'(x) = \frac{7}{2} \left( \frac{x}{4} — 3 \right)^{13}$

ИТОГОВЫЕ ОТВЕТЫ:

а) $y'(x) = 28(4x — 9)^6$
б) $y'(x) = 4\left( \frac{x}{3} + 2 \right)^{11}$
в) $y'(x) = 45(5x + 1)^8$
г) $y^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{7}{2}{(\frac{x}{4}-3)}^{13}$