ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение производной функции $y = g(x)$ в точке $x_0$, если:

а) $g(x) = \sqrt{x},\ x_0 = 4$;
$g'(x) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;
$g'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} = 0{,}25$;
Ответ: 0,25.

б) $g(x) = x^2,\ x_0 = -7$;
$g'(x) = (x^2)’ = 2x$;
$g'(-7) = 2 \cdot (-7) = -14$;
Ответ: −14.

в) $g(x) = -3x — 11,\ x_0 = -3$;
$g'(x) = (-3x — 11)’ = -3$;
$g'(-3) = -3$;
Ответ: −3.

г) $g(x) = \frac{1}{x},\ x_0 = 0{,}5$;
$g'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)’ = -\frac{1}{x^2}$;
$g'(0{,}5) = -\frac{1}{(0{,}5)^2} = -\frac{1}{0{,}25} = -4$;
Ответ: −4.

а) $g(x) = \sqrt{x},\ x_0 = 4$

Шаг 1: Представим функцию в виде степени

$$\sqrt{x} = x^{1/2}$$

Шаг 2: Используем формулу производной степенной функции

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$$

Шаг 3: Вернёмся к виду с корнем

$$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Шаг 4: Подставим $x_0 = 4$

$$g'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$$

Шаг 5: Переведём в десятичную дробь

$$\frac{1}{4} = 0{,}25$$

Ответ: $\boxed{0{,}25}$

б) $g(x) = x^2,\ x_0 = -7$

Шаг 1: Используем правило производной степенной функции

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = -7$

$$g'(-7) = 2 \cdot (-7) = -14$$

Ответ: $\boxed{-14}$

в) $g(x) = -3x — 11,\ x_0 = -3$

Шаг 1: Используем правило производной суммы и линейной функции

$$g'(x) = (-3x)’ + (-11)’ = -3 + 0 = -3$$

Обоснование:

• Производная от $-3x$ равна $-3 \cdot (x)’ = -3 \cdot 1 = -3$
• Производная от константы $-11$ равна 0

Шаг 2: Подставим $x_0 = -3$

$$g'(-3) = -3$$

Ответ: $\boxed{-3}$

г) $g(x) = \dfrac{1}{x},\ x_0 = 0{,}5$

Шаг 1: Представим в виде степени

$$g(x) = x^{-1}$$

Шаг 2: Применим формулу производной

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

Шаг 3: Подставим $x_0 = 0{,}5$

$$g'(0{,}5) = -\frac{1}{(0{,}5)^2} = -\frac{1}{0{,}25} = -4$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -4}}$