ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.30 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти производную функции:

а) $y = \sqrt{15 — 7x}$;
$y'(x) = -7 \cdot \frac{1}{2\sqrt{15 — 7x}} = -\frac{7}{2\sqrt{15 — 7x}}$;

б) $y = \sqrt{42 + 0{,}5x}$;
$y'(x) = 0{,}5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{42 + 0{,}5x}} = \frac{1}{4\sqrt{42 + 0{,}5x}}$;

в) $y = \sqrt{4 + 9x}$;
$y'(x) = 9 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4 + 9x}} = \frac{9}{2\sqrt{4 + 9x}}$;

г) $y = \sqrt{50 — 0{,}2x}$;
$y'(x) = -0{,}2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{50 — 0{,}2x}} = -\frac{1}{10\sqrt{50 — 0{,}2x}}$

Применяем цепное правило:

$$\frac{d}{dx} \sqrt{f(x)} = \frac{1}{2\sqrt{f(x)}} \cdot f'(x)$$

а) $y = \sqrt{15 — 7x}$

Шаг 1. Узнаём внутреннюю функцию:

$$f(x) = 15 — 7x$$

Шаг 2. Находим её производную:

$$f'(x) = (15 — 7x)’ = 0 — 7 = -7$$

Шаг 3. Подставляем в формулу производной корня:

$$y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{15 — 7x}} \cdot (-7) = -\frac{7}{2\sqrt{15 — 7x}}$$

Ответ:

$$\boxed{y'(x) = -\frac{7}{2\sqrt{15 — 7x}}}$$

б) $y = \sqrt{42 + 0{,}5x}$

Шаг 1. Внутренняя функция:

$$f(x) = 42 + 0{,}5x$$

Шаг 2. Производная:

$$f'(x) = 0 + 0{,}5 = 0{,}5$$

Шаг 3. Применяем цепное правило:

$$y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{42 + 0{,}5x}} \cdot 0{,}5 = \frac{0{,}5}{2\sqrt{42 + 0{,}5x}} = \frac{1}{4\sqrt{42 + 0{,}5x}}$$

Ответ:

$$\boxed{y'(x) = \frac{1}{4\sqrt{42 + 0{,}5x}}}$$

в) $y = \sqrt{4 + 9x}$

Шаг 1. Внутренняя функция:

$$f(x) = 4 + 9x$$

Шаг 2. Производная:

$$f'(x) = 0 + 9 = 9$$

Шаг 3. Формула:

$$y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4 + 9x}} \cdot 9 = \frac{9}{2\sqrt{4 + 9x}}$$

Ответ:

$$\boxed{y'(x) = \frac{9}{2\sqrt{4 + 9x}}}$$

г) $y = \sqrt{50 — 0{,}2x}$

Шаг 1. Внутренняя функция:

$$f(x) = 50 — 0{,}2x$$

Шаг 2. Производная:

$$f'(x) = 0 — 0{,}2 = -0{,}2$$

Шаг 3. Применяем формулу:

$$y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{50 — 0{,}2x}} \cdot (-0{,}2) = -\frac{0{,}2}{2\sqrt{50 — 0{,}2x}} = -\frac{1}{10\sqrt{50 — 0{,}2x}}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle y^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{10\sqrt{50-\mathrm{0,2}x}}}}$$