ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.32 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите скорость изменения функции в точке $x_0$:

а) $y = (2x + 1)^5,\; x_0 = -1$;

б) $y = \sqrt{7x — 3},\; x_0 = 1$;

в) $y = \frac{4}{12x — 5},\; x_0 = 2$;

г) $y = \sqrt{11 — 5x},\; x_0 = -1$

Вычислить скорость изменения функции в точке $x_0$:

а) $y = (2x + 1)^5,\; x_0 = -1$;
$y'(x) = 2 \cdot 5(2x + 1)^4 = 10(2x + 1)^4$;
$y'(-1) = 10 \cdot (2 \cdot (-1) + 1)^4 = 10 \cdot (-1)^4 = 10$;
Ответ: 10.

б) $y = \sqrt{7x — 3},\; x_0 = 1$;
$y'(x) = 7 \cdot \frac{1}{2\sqrt{7x — 3}}$;
$y'(1) = 7 \cdot \frac{1}{2\sqrt{7 \cdot 1 — 3}} = \frac{7}{2\sqrt{4}} = \frac{7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} = 1{,}75$;
Ответ: 1,75.

в) $y = \frac{4}{12x — 5},\; x_0 = 2$;
$y'(x) = 4 \cdot 12 \cdot \left(-\frac{1}{(12x — 5)^2}\right) = -\frac{48}{(12x — 5)^2}$;
$y'(2) = -\frac{48}{(12 \cdot 2 — 5)^2} = -\frac{48}{(24 — 5)^2} = -\frac{48}{19^2} = -\frac{48}{361}$;
Ответ: $-\frac{48}{361}$.

г) $y = \sqrt{11 — 5x},\; x_0 = -1$;
$y'(x) = -5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{11 — 5x}}$;
$y'(-1) = -5 \cdot \frac{1}{2\sqrt{11 — 5 \cdot (-1)}} = -\frac{5}{2\sqrt{16}} = -\frac{5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8}$;
Ответ: $-\frac{5}{8}$.

а) $y = (2x + 1)^5, \quad x_0 = -1$

Шаг 1. Найдём производную

Это сложная функция. Применим правило производной степенной функции сложного аргумента:

Если $y = [g(x)]^n$, то $y’ = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$

В нашем случае:

• $g(x) = 2x + 1$,
• $g'(x) = 2$,
• $n = 5$

По формуле:

$$y'(x) = 5(2x + 1)^4 \cdot 2 = 10(2x + 1)^4$$

Шаг 2. Подставим $x_0 = -1$

$$y^{\mathrm{\prime }}(-1)=10(2\cdot (-1)+1{)}^4=10(-2+1{)}^4=$$

$$y'(-1) = 10(2 \cdot (-1) + 1)^4 = 10(-2 + 1)^4 = 10 \cdot (-1)^4 = 10 \cdot 1 = 10$$

Ответ: $\boxed{10}$

б) $y = \sqrt{7x — 3}, \quad x_0 = 1$

Шаг 1. Перепишем как степень

$$y = (7x — 3)^{1/2}$$

Шаг 2. Применим производную сложной степени:

Если $y = [g(x)]^{1/2}$, то $y’ = \frac{1}{2}[g(x)]^{-1/2} \cdot g'(x)$

• $g(x) = 7x — 3$,
• $g'(x) = 7$

$$y'(x) = \frac{1}{2} \cdot (7x — 3)^{-1/2} \cdot 7 = \frac{7}{2\sqrt{7x — 3}}$$

Шаг 3. Подставим $x = 1$:

$$y'(1) = \frac{7}{2\sqrt{7 \cdot 1 — 3}} = \frac{7}{2\sqrt{4}} = \frac{7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4}$$ $$\frac{7}{4} = 1{,}75$$

Ответ: $\boxed{1{,}75}$

в) $y = \dfrac{4}{12x — 5}, \quad x_0 = 2$

Шаг 1. Перепишем как степень:

$$y = 4(12x — 5)^{-1}$$

Шаг 2. Найдём производную

$\frac{d}{dx}(g(x))^{-1} = -g'(x) \cdot g(x)^{-2}$

• $g(x) = 12x — 5$,
• $g'(x) = 12$

$$y'(x) = 4 \cdot \left(-12 \cdot (12x — 5)^{-2}\right) = -\frac{48}{(12x — 5)^2}$$

Шаг 3. Подставим $x = 2$:

$$y'(2) = -\frac{48}{(12 \cdot 2 — 5)^2} = -\frac{48}{(24 — 5)^2} = -\frac{48}{19^2} = -\frac{48}{361}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{48}{361}}$

г) $y = \sqrt{11 — 5x}, \quad x_0 = -1$

Шаг 1. Перепишем как степень:

$$y = (11 — 5x)^{1/2}$$

Шаг 2. Применим формулу:

$y’ = \frac{1}{2}(11 — 5x)^{-1/2} \cdot (-5) = -\frac{5}{2\sqrt{11 — 5x}}$

Шаг 3. Подставим $x = -1$:

$$y^{\mathrm{\prime }}(-1)=-\frac{5}{2\sqrt{11-5\cdot (-1)}}=-\frac{5}{2\sqrt{11+5}}=$$

$$y'(-1) = -\frac{5}{2\sqrt{11 — 5 \cdot (-1)}} = -\frac{5}{2\sqrt{11 + 5}} = -\frac{5}{2\sqrt{16}} = -\frac{5}{2 \cdot 4} = -\frac{5}{8}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\frac{5}{8}}}$