ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.33 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \sin\left(3x — \frac{\pi}{4}\right), \; x_0 = \frac{\pi}{4}$;

б) $y = tg\,6x, \; x_0 = \frac{\pi}{24}$;

в) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} — 2x\right), \; x_0 = \frac{\pi}{3}$;

г) $y = ctg\,\frac{x}{3}, \; x_0 = \pi$

Вычислить скорость изменения функции в точке $x_0$:

а) $y = \sin\left(3x — \frac{\pi}{4}\right), \; x_0 = \frac{\pi}{4}$;
$y'(x) = 3 \cdot \cos\left(3x — \frac{\pi}{4}\right)$;
$y’\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3 \cdot \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) = 3 \cos\frac{2\pi}{4} = 3 \cos\frac{\pi}{2} = 3 \cdot 0 = 0$;
Ответ: 0.

б) $y = tg\,6x, \; x_0 = \frac{\pi}{24}$;
$y'(x) = 6 \cdot \frac{1}{\cos^2 6x}$;
$y’\left(\frac{\pi}{24}\right) = 6 \cdot \frac{1}{\cos^2\left(6 \cdot \frac{\pi}{24}\right)} = \frac{6}{\cos^2\frac{\pi}{4}} = 6 : \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 6 : \frac{1}{2} = 6 \cdot 2 = 12$;
Ответ: 12.

в) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} — 2x\right), \; x_0 = \frac{\pi}{3}$;
$y'(x) = -2 \cdot \left(-\sin\left(\frac{\pi}{3} — 2x\right)\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3} — 2x\right)$;
$y’\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3} — 2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -2 \sin\frac{\pi}{3} = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$;
Ответ: $-\sqrt{3}$.

г) $y = ctg\,\frac{x}{3}, \; x_0 = \pi$;
$y'(x) = \frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2\frac{x}{3}}\right) = -\frac{1}{3 \sin^2\frac{x}{3}}$;
$y'(\pi) = -\frac{1}{3 \sin^2\frac{\pi}{3}} = -\frac{1}{3 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = -\frac{1}{3 \cdot \frac{3}{4}} = -\frac{1}{\frac{9}{4}} = -\frac{4}{9}$;
Ответ: $-\frac{4}{9}$.

а) $y = \sin\left(3x — \frac{\pi}{4}\right), \; x_0 = \frac{\pi}{4}$

Шаг 1: Найдём производную

Это сложная функция: синус от линейного выражения.

Применим правило цепочки:

$$y'(x) = \frac{d}{dx} \left[\sin(u)\right] = \cos(u) \cdot u'(x)$$

где $u(x) = 3x — \frac{\pi}{4}$, тогда $u'(x) = 3$

Следовательно:

$$y'(x) = 3 \cdot \cos\left(3x — \frac{\pi}{4}\right)$$

Шаг 2: Подставим $x = \frac{\pi}{4}$

$$y’\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3 \cdot \cos\left(3 \cdot \frac{\pi}{4} — \frac{\pi}{4}\right) = 3 \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{4}\right) = 3 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ $$y’\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3 \cdot 0 = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

б) $y = \tan(6x), \; x_0 = \frac{\pi}{24}$

Шаг 1: Найдём производную

Для производной тангенса:

$$\frac{d}{dx}[\tan(u)] = \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot u'(x)$$

Здесь $u(x) = 6x$, значит $u'(x) = 6$, тогда:

$$y'(x) = 6 \cdot \frac{1}{\cos^2(6x)} = \frac{6}{\cos^2(6x)}$$

Шаг 2: Подставим $x = \frac{\pi}{24}$

$$y’\left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{6}{\cos^2\left(6 \cdot \frac{\pi}{24}\right)} = \frac{6}{\cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right)}$$ $$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}$$ $$y’\left(\frac{\pi}{24}\right) = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot 2 = 12$$

Ответ: $\boxed{12}$

в) $y = \cos\left(\frac{\pi}{3} — 2x\right), \; x_0 = \frac{\pi}{3}$

Шаг 1: Найдём производную

Используем правило цепочки:

$$\frac{d}{dx}[\cos(u)] = -\sin(u) \cdot u'(x)$$

$u(x) = \frac{\pi}{3} — 2x \Rightarrow u'(x) = -2$

$$y'(x) = -\sin\left(\frac{\pi}{3} — 2x\right) \cdot (-2) = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} — 2x\right)$$

Шаг 2: Подставим $x = \frac{\pi}{3}$

$$y’\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3} — 2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$$ $$\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$y’\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\sqrt{3}$$

Ответ: $\boxed{-\sqrt{3}}$

г) $y = \cot\left(\frac{x}{3}\right), \; x_0 = \pi$

Шаг 1: Найдём производную

Для котангенса:

$$\frac{d}{dx}[\cot(u)] = -\frac{1}{\sin^2(u)} \cdot u'(x)$$

$u(x) = \frac{x}{3} \Rightarrow u'(x) = \frac{1}{3}$

$$y'(x) = -\frac{1}{\sin^2\left(\frac{x}{3}\right)} \cdot \frac{1}{3} = -\frac{1}{3 \sin^2\left(\frac{x}{3}\right)}$$

Шаг 2: Подставим $x = \pi$

$$y'(\pi) = -\frac{1}{3 \cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right)}$$ $$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sin^2\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{4}$$ $$y'(\pi) = -\frac{1}{3 \cdot \frac{3}{4}} = -\frac{1}{\frac{9}{4}} = -\frac{4}{9}$$

Ответ: $\boxed{-\frac{4}{9}}$

Итоговые ответы:

а) $\boxed{0}$
б) $\boxed{12}$
в) $\boxed{-\sqrt{3}}$
г) $\boxed{{\displaystyle -\frac{4}{9}}}$