ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.34 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = h(x) в точке с абсциссой $x_0$ и осью x:

а) $h(x) = (0{,}5x + 3)^7$, $x_0 = -4$;

б) $h(x) = \sqrt{16x + 21}$, $x_0 = \frac{1}{4}$;

в) $h(x) = \frac{18}{4x + 1}$, $x_0 = 0{,}5$;

г) $h(x) = \sqrt{6 — 2x}$, $x_0 = 1$

Найти тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $x$:

а) $h(x) = (0{,}5x + 3)^7$, $x_0 = -4$;
$h'(x) = 0{,}5 \cdot 7(0{,}5x + 3)^6$;
$h'(-4) = 0{,}5 \cdot 7(0{,}5 \cdot (-4) + 3)^6 = 3{,}5 \cdot (-2 + 3)^6 = 3{,}5$;
Ответ: 3,5.

б) $h(x) = \sqrt{16x + 21}$, $x_0 = \frac{1}{4}$;
$h'(x) = 16 \cdot \frac{1}{2\sqrt{16x + 21}} = \frac{8}{\sqrt{16x + 21}}$;
$h’\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{8}{\sqrt{16 \cdot \frac{1}{4} + 21}} = \frac{8}{\sqrt{4 + 21}} = \frac{8}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5} = 1{,}6$;
Ответ: 1,6.

в) $h(x) = \frac{18}{4x + 1}$, $x_0 = 0{,}5$;
$h'(x) = 18 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{(4x + 1)^2}\right) = -\frac{72}{(4x + 1)^2}$;
$h'(0{,}5) = -\frac{72}{(4 \cdot 0{,}5 + 1)^2} = -\frac{72}{(2 + 1)^2} = -\frac{72}{3^2} = -\frac{72}{9} = -8$;
Ответ: –8.

г) $h(x) = \sqrt{6 — 2x}$, $x_0 = 1$;
$h'(x) = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{6 — 2x}} = -\frac{1}{\sqrt{6 — 2x}}$;
$h'(1) = -\frac{1}{\sqrt{6 — 2 \cdot 1}} = -\frac{1}{\sqrt{4}} = -\frac{1}{2} = -0{,}5$;
Ответ: –0,5.

Найти тангенс угла между касательной к графику функции $y = h(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ и осью $x$.
Это значит — найти значение производной $h'(x_0)$, поскольку:

$\tan \alpha = h'(x_0)$ — тангенс угла наклона касательной в точке к оси $x$.

а)

Функция: $h(x) = (0{,}5x + 3)^7$,
Точка: $x_0 = -4$

Шаг 1. Найдём производную $h'(x)$

Используем цепное правило:

$$\left( (f(x))^n \right)’ = n(f(x))^{n-1} \cdot f'(x)$$

Здесь:

• $f(x) = 0{,}5x + 3$
• $n = 7$

$$h'(x) = 7 \cdot (0{,}5x + 3)^6 \cdot (0{,}5)$$ $$h'(x) = 3{,}5 \cdot (0{,}5x + 3)^6$$

Шаг 2. Подставим $x = -4$

$$h'(-4) = 3{,}5 \cdot (0{,}5 \cdot (-4) + 3)^6 = 3{,}5 \cdot (-2 + 3)^6 = 3{,}5 \cdot 1^6 = 3{,}5$$

Ответ: $\boxed{3{,}5}$

б)

Функция: $h(x) = \sqrt{16x + 21}$,
Точка: $x_0 = \frac{1}{4}$

Шаг 1. Перепишем корень как степень

$$h(x) = (16x + 21)^{1/2}$$

Шаг 2. Применим цепное правило

$$h'(x) = \frac{1}{2}(16x + 21)^{-1/2} \cdot 16 = \frac{8}{\sqrt{16x + 21}}$$

Шаг 3. Подставим $x = \frac{1}{4}$

$$h’\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{8}{\sqrt{16 \cdot \frac{1}{4} + 21}} = \frac{8}{\sqrt{4 + 21}} = \frac{8}{\sqrt{25}} = \frac{8}{5} = 1{,}6$$

Ответ: $\boxed{1{,}6}$

в)

Функция: $h(x) = \frac{18}{4x + 1}$,
Точка: $x_0 = 0{,}5$

Шаг 1. Представим как степень

$$h(x) = 18 \cdot (4x + 1)^{-1}$$

Шаг 2. Найдём производную

$$h'(x) = 18 \cdot (-1)(4x + 1)^{-2} \cdot 4 = -\frac{72}{(4x + 1)^2}$$

Шаг 3. Подставим $x = 0{,}5$

$$h'(0{,}5) = -\frac{72}{(4 \cdot 0{,}5 + 1)^2} = -\frac{72}{(2 + 1)^2} = -\frac{72}{9} = -8$$

Ответ: $\boxed{-8}$

г)

Функция: $h(x) = \sqrt{6 — 2x}$,
Точка: $x_0 = 1$

Шаг 1. Перепишем корень

$$h(x) = (6 — 2x)^{1/2}$$

Шаг 2. Найдём производную

$$h'(x) = \frac{1}{2}(6 — 2x)^{-1/2} \cdot (-2) = -\frac{1}{\sqrt{6 — 2x}}$$

Шаг 3. Подставим $x = 1$

$$h'(1) = -\frac{1}{\sqrt{6 — 2 \cdot 1}} = -\frac{1}{\sqrt{4}} = -\frac{1}{2}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -\mathrm{0,5}}}$