ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.36 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство $f'(x) < 0$, если:

а) $f(x) = x^3 — x^4$;

Производная функции:
$f'(x) = (x^3)’ — (x^4)’ = 3x^2 — 4x^3$;

Значения переменной:
$3x^2 — 4x^3 < 0$;
$x^2 \cdot (3 — 4x) < 0$;
$3 — 4x < 0, \; x \ne 0$;
$4x > 3$;
$x > 0.75$;

Ответ: $x \in (0.75; +\infty)$.

б) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 — \frac{5}{3}x^3 + 6x$;

Производная функции:
$f'(x) = \frac{1}{5}(x^5)’ — \frac{5}{3}(x^3)’ + (6x)’$;
$f'(x) = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 — \frac{5}{3} \cdot 3x^2 + 6 = x^4 — 5x^2 + 6$;

Значения переменной:
$x^4 — 5x^2 + 6 < 0$;

Пусть $y = x^2$, тогда:
$y^2 — 5y + 6 < 0$;
$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$, тогда:
$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2$ и $y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$;
$(y — 2)(y — 3) < 0$;
$2 < y < 3$;

Первое значение:
$x^2 > 2$;
$x^2 — 2 > 0$;
$(x + \sqrt{2})(x — \sqrt{2}) > 0$;
$x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$;

Второе значение:
$x^2 < 3$;
$x^2 — 3 < 0$;
$(x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3}) < 0$;
$-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$;

Ответ: $x \in (-\sqrt{3}; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \sqrt{3})$.

а) $f(x) = x^3 — x^4$

Шаг 1. Найдём производную функции:

Используем правило дифференцирования степенных функций:

$$f'(x) = (x^3)’ — (x^4)’ = 3x^2 — 4x^3$$

Шаг 2. Запишем неравенство:

$$f'(x) < 0 \quad \Rightarrow \quad 3x^2 — 4x^3 < 0$$

Шаг 3. Вынесем общий множитель:

$$x^2(3 — 4x) < 0$$

Шаг 4. Найдём знаки выражения:

У нас произведение трёх множителей:

• $x^2$ — всегда неотрицательно (≥ 0), равно 0 при $x = 0$
• $(3 — 4x)$ — меняет знак при $x = \frac{3}{4}$

Так как $x^2 \geq 0$, то выражение $x^2(3 — 4x) < 0$ будет < 0 только тогда, когда:

• $x^2 > 0$ (то есть $x \ne 0$)
• $3 — 4x < 0 \Rightarrow x > \frac{3}{4}$

Вывод:

$$x \in \left( \frac{3}{4}, +\infty \right)$$

Ответ:

$$\boxed{x \in \left( 0.75;\ +\infty \right)}$$

б) $f(x) = \frac{1}{5}x^5 — \frac{5}{3}x^3 + 6x$

Шаг 1. Найдём производную функции:

$$f'(x) = \left(\frac{1}{5}x^5\right)’ — \left(\frac{5}{3}x^3\right)’ + (6x)’ = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 — \frac{5}{3} \cdot 3x^2 + 6 = x^4 — 5x^2 + 6$$

Шаг 2. Решим неравенство:

$$f'(x) < 0 \Rightarrow x^4 — 5x^2 + 6 < 0$$

Шаг 3. Заменим $x^2 = y$:

$$y^2 — 5y + 6 < 0$$

Шаг 4. Найдём корни квадратного уравнения:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$ $$y_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \Rightarrow y_1 = 2,\; y_2 = 3$$

Шаг 5. Решаем неравенство:

$$(y — 2)(y — 3) < 0 \Rightarrow y \in (2, 3)$$

Шаг 6. Возвращаемся к переменной $x$:

$$x^2 \in (2, 3) \Rightarrow x \in (-\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \sqrt{3})$$

Пояснение:

• $x^2 > 2 \Rightarrow x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$
• $x^2 < 3 \Rightarrow x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$
• Пересечение этих двух интервалов: $x \in (-\sqrt{3}, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \sqrt{3})$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x\in (-\sqrt{3},-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\sqrt{3})}}$$