ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.37 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство $f'(x) < 0$, если:

а) $f(x) = \sin 2x$;
Производная функции:
$f'(x) = 2 \cdot \cos 2x$;
Значения переменной:
$2 \cdot \cos 2x < 0$;
$\cos 2x < 0$;
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$;
$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$;
Ответ: $x \in \left( \frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{3\pi}{4} + \pi n \right)$.

б) $f(x) = -4 \cos x + 2x$;
Производная функции:
$f'(x) = -4(\cos x)’ + (2x)’$;
$f'(x) = -4 \cdot (-\sin x) + 2 = 4 \sin x + 2$;
Значения переменной:
$4 \sin x + 2 < 0$;
$4 \sin x < -2$;
$\sin x < -\frac{1}{2}$;
$-\pi — \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n < x < \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n$;
$-\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$;
$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$;
Ответ: $x \in \left( -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \right)$.

а) $f(x) = \sin(2x)$

Найти, при каких $x$, $f'(x) < 0$

Шаг 1. Находим производную функции.

Функция:

$$f(x) = \sin(2x)$$

Применяем правило производной сложной функции:

$$f'(x) = (\sin(2x))’ = \cos(2x) \cdot (2x)’ = 2 \cos(2x)$$

Шаг 2. Ставим неравенство:

$$f'(x) < 0 \Rightarrow 2 \cos(2x) < 0$$

Делим обе части на 2 (так как положительное число, знак не меняется):

$$\cos(2x) < 0$$

Шаг 3. Решаем тригонометрическое неравенство.

Функция $\cos \theta < 0$ отрицательна на интервале:

$$\left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n;\ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right),\quad n \in \mathbb{Z}$$

Пусть $\theta = 2x$, тогда:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < 2x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$$

Шаг 4. Делим всё на 2, чтобы найти $x$:

$$\frac{\pi}{4} + \pi n < x < \frac{3\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{x \in \left( \frac{\pi}{4} + \pi n;\ \frac{3\pi}{4} + \pi n \right),\quad n \in \mathbb{Z}}$$

б) $f(x) = -4 \cos x + 2x$

Найти, при каких $x$, $f'(x) < 0$

Шаг 1. Находим производную.

$$f(x) = -4 \cos x + 2x$$

Берем производную по правилам суммы и константного множителя:

$$f'(x) = -4(\cos x)’ + (2x)’ = -4(-\sin x) + 2 = 4 \sin x + 2$$

Шаг 2. Ставим неравенство:

$$f'(x) < 0 \Rightarrow 4 \sin x + 2 < 0$$

Шаг 3. Решаем неравенство:

$$4 \sin x < -2 \Rightarrow \sin x < -\frac{1}{2}$$

Шаг 4. Найдём значения $x$, при которых $\sin x < -\frac{1}{2}$

График синуса ниже уровня $-\frac{1}{2}$ на интервалах:

$$x \in \left( -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\ -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \right),\quad n \in \mathbb{Z}$$

Почему?

Потому что:

• $\sin x = -\frac{1}{2}$ при $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
• Синус меньше $-\frac{1}{2}$ между этими точками.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x\in (-\frac{5\pi }{6}+2\pi n;-\frac{\pi }{6}+2\pi n),n\in \mathbb{Z}}}$$