ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.39 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решить неравенство $g'(x) > 0$, если:

а) $g(x) = \cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x$;

Производная функции:
$g'(x) = 2 \cdot (-\sin 2x) = -2 \sin 2x$;

Значения переменной:
$-2 \sin 2x > 0$;
$\sin 2x < 0$;
$-\pi + 2\pi n < 2x < 2\pi n$;
$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \pi n$;

Ответ: $x \in \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi n \right)$.

б) $g(x) = \sin^2 x = \sin x \cdot \sin x$;

Производная функции:
$g'(x) = (\sin x)’ \cdot \sin x + \sin x \cdot (\sin x)’$;
$g'(x) = 2 \sin x \cdot (\sin x)’ = 2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x$;

Значения переменной:
$\sin 2x > 0$;
$2\pi n < 2x < \pi + 2\pi n$;
$\pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Ответ: $x \in \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$.

а) $g(x) = \cos^2 x — \sin^2 x$

Шаг 1. Упростим выражение для функции.

Из тригонометрии:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos(2x)$$

То есть:

$$g(x) = \cos(2x)$$

Шаг 2. Найдём производную функции.

$$g'(x) = \frac{d}{dx}[\cos(2x)]$$

По формуле производной сложной функции:

$$\frac{d}{dx}[\cos(2x)] = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$$

То есть:

$$g'(x) = -2\sin(2x)$$

Шаг 3. Решим неравенство $g'(x) > 0$:

$$-2\sin(2x) > 0$$

Делим обе части на -2, меняя знак неравенства:

$$\sin(2x) < 0$$

Шаг 4. Решим неравенство $\sin(2x) < 0$

Рассмотрим промежутки, где синус отрицателен.
Синус < 0 в III и IV четвертях, т.е.:

$$2x \in (\pi n; \pi n + \pi), \text{ где } \sin(2x) < 0 \text{ на } (\pi; 2\pi), (3\pi; 4\pi), и т.д.$$

Это:

$$2x \in (\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n) \Rightarrow x \in \left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \pi + \pi n \right)$$

Но в исходном решении был выбран интервал:

$$2x \in (-\pi + 2\pi n; 0 + 2\pi n) \Rightarrow x \in \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi n \right)$$

Оба варианта верны, так как синус < 0 на всех таких интервалах. Оставим тот, что в ответе.

Итог:

$$\boxed{g'(x) > 0 \text{ при } x \in \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi n \right)}$$

б) $g(x) = \sin^2 x$

Шаг 1. Найдём производную.

$$g(x) = (\sin x)^2$$

Применим правило производной сложной функции:

$$g'(x) = 2 \cdot \sin x \cdot (\sin x)’ = 2\sin x \cdot \cos x$$

Применим тригонометрическое тождество:

$$2\sin x \cdot \cos x = \sin(2x)$$

Значит:

$$g'(x) = \sin(2x)$$

Шаг 2. Решим неравенство:

$$\sin(2x) > 0$$

Синус положителен в I и II четвертях, то есть:

$$2x \in (0 + 2\pi n; \pi + 2\pi n)$$

Делим на 2:

$$x \in \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$$

Итог:

$$\boxed{g'(x) > 0 \text{ при } x \in \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)}$$

Окончательные ответы:

а) $x \in \left( -\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi n \right)$
б) $x \in \left( \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right)$

Где $n \in \mathbb{Z}$.