ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.4 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найти значение производной функции $y = g(x)$ в точке $x_0$, если:

а) $g(x) = \sin x, \quad x_0 = -\frac{\pi}{2}$;
$g'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;
$g’\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0$;
Ответ: 0.

б) $g(x) = \cos x, \quad x_0 = \frac{\pi}{6}$;
$g'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$;
$g’\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} = -0,5$;
Ответ: -0,5.

в) $g(x) = \cos x, \quad x_0 = -3\pi$;
$g'(x) = (\cos x)’ = -\sin x$;
$g'(x) = -\sin(-3\pi) = \sin 3\pi = 0$;
Ответ: 0.

г) $g(x) = \sin x, \quad x_0 = 0$;
$g'(x) = (\sin x)’ = \cos x$;
$g'(0) = \cos 0 = 1$;
Ответ: 1.

а) $g(x) = \sin x,\quad x_0 = -\dfrac{\pi}{2}$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = -\dfrac{\pi}{2}$

$$g’\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$$

Шаг 3: Используем чётность косинуса

$$\cos(-x) = \cos x \Rightarrow \cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$$

Шаг 4: Подставим значение

$$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

б) $g(x) = \cos x,\quad x_0 = \dfrac{\pi}{6}$

Шаг 1: Найдём производную функции

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = \dfrac{\pi}{6}$

$$g’\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$$

Шаг 3: Подставим значение синуса

$$\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$$

Шаг 4: Вычислим производную

$$g’\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$$

Шаг 5: Запишем десятичное значение

$$-\dfrac{1}{2} = -0{,}5$$

Ответ: $\boxed{-0{,}5}$

в) $g(x) = \cos x,\quad x_0 = -3\pi$

Шаг 1: Найдём производную

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = -3\pi$

$$g'(-3\pi) = -\sin(-3\pi)$$

Шаг 3: Используем нечётность синуса

$$\sin(-x) = -\sin x \Rightarrow \sin(-3\pi) = -\sin(3\pi)$$ $$g'(-3\pi) = -(-\sin(3\pi)) = \sin(3\pi)$$

Шаг 4: Подставим значение синуса

$$\sin(3\pi) = 0$$

Шаг 5: Получаем значение производной

$$g'(-3\pi) = 0$$

Ответ: $\boxed{0}$

г) $g(x) = \sin x,\quad x_0 = 0$

Шаг 1: Найдём производную

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$$

Шаг 2: Подставим $x_0 = 0$

$$g'(0) = \cos(0)$$

Шаг 3: Подставим значение

$$\cos(0) = 1$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 1}}$