ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.40 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = h(x)$ образует острый угол с положительным направлением оси $x$, если:

а) $h(x) = x^3 — 3x^2 + 1$;

Производная функции:
$k = g'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (1)’;$
$k = 3x^2 — 3 \cdot 2x + 0 = 3x^2 — 6x;$

Значения переменной:
$3x^2 — 6x > 0;$
$3x(x — 2) > 0;$
$x < 0 \text{ или } x > 2;$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$.

б) $h(x) = 4\sqrt{x} — x$;

Производная функции:
$k = g'(x) = 4(\sqrt{x})’ — (x)’ = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} — 1 = \frac{2 — \sqrt{x}}{\sqrt{x}};$

Значения переменной:
$\frac{2 — \sqrt{x}}{\sqrt{x}} > 0;$
$2 — \sqrt{x} > 0;$
$\sqrt{x} < 2;$
$0 < x < 4;$

Ответ: $x \in (0; 4)$.

в) $h(x) = x^3 — x^4 — 19$;

Производная функции:
$k = g'(x) = (x^3)’ — (x^4)’ — (19)’ = 3x^2 — 4x^3;$

Значения переменной:
$3x^2 — 4x^3 > 0;$
$x^2 \cdot (3 — 4x) > 0;$
$3 — 4x > 0, \quad x \ne 0;$
$4x < 3;$
$x < 0,75;$

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 0,75)$.

г) $h(x) = tg\,x — 4x$;

Производная функции:
$k = g'(x) = (tg\,x)’ — (4x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} — 4 = \frac{1 — 4\cos^2 x}{\cos^2 x};$

Значения переменной:
$\frac{1 — 4\cos^2 x}{\cos^2 x} > 0;$
$1 — 4\cos^2 x > 0;$
$4\cos^2 x < 1;$
$\cos^2 x < \frac{1}{4};$
$1 — \sin^2 x < \frac{1}{4};$
$\sin^2 x > \frac{3}{4};$
$\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2};$
$x = \pm \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n;$

Решения неравенства:
$\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \pi — \frac{\pi}{3} + \pi n;$
$\frac{\pi}{3} + \pi n < x < \frac{2\pi}{3} + \pi n;$

Выражение имеет смысл при:
$x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n;$

Ответ: $x \in \left( \frac{\pi}{3} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \frac{2\pi}{3} + \pi n \right)$.

Определить абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = h(x)$ образует острый угол с положительным направлением оси $x$.

Это означает:

$$h'(x) > 0$$

а)

Функция: $h(x) = x^3 — 3x^2 + 1$

Шаг 1. Найдём производную:

$$h'(x) = (x^3)’ — 3(x^2)’ + (1)’ = 3x^2 — 6x$$

Шаг 2. Неравенство:

$$3x^2 — 6x > 0$$

Вынесем общий множитель:

$$3x(x — 2) > 0$$

Решим методом интервалов:

• Корни: $x = 0$, $x = 2$
• Знаки на промежутках:
  • $(-\infty; 0)$: знак $+$
  • $(0; 2)$: знак $—$
  • $(2; +\infty)$: знак $+$

Требуется положительное значение:

$$x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)}$$

б)

Функция: $h(x) = 4\sqrt{x} — x$

Область определения:

$$x \geq 0$$

Шаг 1. Найдём производную:

$$h'(x) = 4 \cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) — 1 = \frac{2}{\sqrt{x}} — 1$$

Шаг 2. Неравенство:

$$\frac{2}{\sqrt{x}} — 1 > 0$$

Решим:

$$\frac{2 — \sqrt{x}}{\sqrt{x}} > 0$$

Числитель и знаменатель должны быть одного знака (оба положительные или оба отрицательные). Так как $\sqrt{x} > 0$, тогда:

$$2 — \sqrt{x} > 0 \Rightarrow \sqrt{x} < 2 \Rightarrow x < 4$$

И также $x > 0$

Ответ:

$$\boxed{x \in (0; 4)}$$

в)

Функция: $h(x) = x^3 — x^4 — 19$

Шаг 1. Найдём производную:

$$h'(x) = (x^3)’ — (x^4)’ = 3x^2 — 4x^3$$

Шаг 2. Неравенство:

$$3x^2 — 4x^3 > 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x^2(3 — 4x) > 0$$

Рассмотрим:

• $x^2 > 0$ при $x \ne 0$
• $3 — 4x > 0 \Rightarrow x < 0.75$

Учитывая $x \ne 0$, решение:

$$x \in (-\infty; 0) \cup (0; 0.75)$$

Ответ:

$$\boxed{x \in (-\infty; 0) \cup (0; 0.75)}$$

г)

Функция: $h(x) = \tan x — 4x$

Шаг 1. Найдём производную:

$$h'(x) = (\tan x)’ — (4x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} — 4$$

Шаг 2. Неравенство:

$$\frac{1}{\cos^2 x} — 4 > 0 \Rightarrow \frac{1}{\cos^2 x} > 4 \Rightarrow \cos^2 x < \frac{1}{4}$$

Решим:

$$|\cos x| < \frac{1}{2}$$

Косинус принимает значения $\pm \frac{1}{2}$ в точках:

$$\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$ $$\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$$

Значит, неравенство выполняется при:

$$x \in \left( \frac{\pi}{3} + \pi n,\; \frac{2\pi}{3} + \pi n \right)$$

Но важно учесть, что $\tan x$ и $\frac{1}{\cos^2 x}$ не определены в точках:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Таким образом, интервал нужно разбить:

$$x \in \left( \frac{\pi}{3} + \pi n,\; \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cup \left( \frac{\pi}{2} + \pi n,\; \frac{2\pi}{3} + \pi n \right)$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x\in (\frac{\pi }{3}+\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n)\cup (\frac{\pi }{2}+\pi n,\frac{2\pi }{3}+\pi n),n\in \mathbb{Z}}}$$