ГДЗ 10-11 Класс Номер 28.41 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Определить абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = \varphi(x)$ образует тупой угол с положительным направлением оси $x$, если:

а) $\varphi(x) = \sin x + 3$;

Производная функции:
$k = \varphi'(x) = (\sin x)’ + (3)’ = \cos x + 0 = \cos x$;

Значения переменной:
$\cos x < 0$;
$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$;

Ответ: $$$x \in \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right)$.

б) $\varphi(x) = 0,2x^5 — 3\frac{1}{3}x^3 + 9x$;

Производная функции:
$k = \varphi'(x) = 0,2(x^5)’ — 3\frac{1}{3}(x^3)’ + (9x)’$;
$k = 0,2 \cdot 5x^4 — 3\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 9 = x^4 — 10x^2 + 9$;

Значения переменной:
$x^4 — 10x^2 + 9 < 0$;

Пусть $y = x^2$, тогда:
$y^2 — 10y + 9 < 0$;
$D = 10^2 — 4 \cdot 9 = 100 — 36 = 64$, тогда:
$y_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1$ и $y_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9$;
$(y — 1)(y — 9) < 0$;
$1 < y < 9$;

Первое значение:
$x^2 > 1$;
$x^2 — 1 > 0$;
$(x + 1)(x — 1) > 0$;
$x < -1$ или $x > 1$;

Второе значение:
$x^2 < 9$;
$x^2 — 9 < 0$;
$(x + 3)(x — 3) < 0$;
$-3 < x < 3$;

Ответ: $$$x \in (-3; -1) \cup (1; 3)$.

Что значит «касательная образует тупой угол с положительным направлением оси $x$«?

Это означает, что угловой коэффициент касательной (т.е. производная функции) отрицателен, то есть:

$$\varphi'(x) < 0.$$

а) $\varphi(x) = \sin x + 3$

Шаг 1. Найдём производную:

$$\varphi'(x) = (\sin x)’ + (3)’ = \cos x + 0 = \cos x.$$

Шаг 2. Требуем, чтобы производная была отрицательна:

$$\cos x < 0.$$

Шаг 3. Решаем неравенство:

$$\cos x < 0 \text{ на промежутках } \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right), \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$x \in \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right).$$

б) $\varphi(x) = 0{,}2x^5 — 3\frac{1}{3}x^3 + 9x$

Шаг 1. Преобразуем коэффициенты:

$$\varphi(x) = 0{,}2x^5 — \frac{10}{3}x^3 + 9x.$$

Шаг 2. Найдём производную:

$$\varphi'(x) = 0{,}2 \cdot 5x^4 — \frac{10}{3} \cdot 3x^2 + 9 = x^4 — 10x^2 + 9.$$

Шаг 3. Требуем:

$$\varphi'(x) < 0 \Rightarrow x^4 — 10x^2 + 9 < 0.$$

Шаг 4. Подстановка: $y = x^2$, тогда:

$$y^2 — 10y + 9 < 0.$$

Шаг 5. Решим квадратное неравенство:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 — 36 = 64,$$ $$y_1 = \frac{10 — 8}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9.$$ $$\Rightarrow y \in (1; 9).$$

Шаг 6. Вернёмся к $x^2 \in (1; 9)$:

$$1 < x^2 < 9 \Rightarrow x \in (-3; -1) \cup (1; 3).$$

Ответ:

$$x \in (-3; -1) \cup (1; 3).$$

Итоговые ответы:

а) $x \in \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right)$,

б) $x \in (-3; -1) \cup (1; 3)$.